Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59938 / 59461
↖ ↑ ↗
← S 81.151706°
E149.249268°		 ← 93.95 m → S 81.151706°
E149.254761°		 →
↑
93.97 m
↓
↑
93.97 m
↓
S 81.152551°
E149.249268°		 ← 93.94 m →
8 828 m²		 S 81.152551°
E149.254761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914588928222656 y=0.907310485839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914588928222656 × 216)
    floor (0.914588928222656 × 65536)
    floor (59938.5)     		tx = 59938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907310485839844 × 216)
    floor (0.907310485839844 × 65536)
    floor (59461.5)     		ty = 59461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59938 / 59461 ti = "16/59938/59461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59938/59461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59938 ÷ 216
    59938 ÷ 65536     		x = 0.914581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59461 ÷ 216
    59461 ÷ 65536     		y = 0.907302856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914581298828125 × 2 - 1) × π
    0.82916259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60489113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907302856445312 × 2 - 1) × π
    -0.814605712890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55915932311632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60489113} λ = 2.60489113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55915932311632))-π/2
    2×atan(0.0773697560763303)-π/2
    2×0.0772159277021007-π/2
    0.154431855404201-1.57079632675     		φ = -1.41636447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60489113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.249268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41636447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.151706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59938 KachelY 59461 2.60489113 -1.41636447 149.249268 -81.151706
    Oben rechts KachelX + 1 59939 KachelY 59461 2.60498700 -1.41636447 149.254761 -81.151706
    Unten links KachelX 59938 KachelY + 1 59462 2.60489113 -1.41637922 149.249268 -81.152551
    Unten rechts KachelX + 1 59939 KachelY + 1 59462 2.60498700 -1.41637922 149.254761 -81.152551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41636447--1.41637922) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dl = 93.9722500004034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41636447--1.41637922) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dr = 93.9722500004034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60489113-2.60498700) × cos(-1.41636447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153818742367648 × 6371000     		do = 93.9506066349381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60489113-2.60498700) × cos(-1.41637922) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153804167889466 × 6371000     		du = 93.9417047219107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41636447)-sin(-1.41637922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153818742367648-0.153804167889466)×R²
    abs(2.60498700-2.60489113)×1.45744781815393e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45744781815393e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45744781815393e-05×40589641000000     		ar = 8828.33162835474m²