Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59938 / 58975
↖ ↑ ↗
← S 80.731464°
E149.249268°		 ← 98.37 m → S 80.731464°
E149.254761°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
S 80.732348°
E149.249268°		 ← 98.37 m →
9 676 m²		 S 80.732348°
E149.254761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914588928222656 y=0.899894714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914588928222656 × 216)
    floor (0.914588928222656 × 65536)
    floor (59938.5)     		tx = 59938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899894714355469 × 216)
    floor (0.899894714355469 × 65536)
    floor (58975.5)     		ty = 58975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59938 / 58975 ti = "16/59938/58975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59938/58975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59938 ÷ 216
    59938 ÷ 65536     		x = 0.914581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58975 ÷ 216
    58975 ÷ 65536     		y = 0.899887084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914581298828125 × 2 - 1) × π
    0.82916259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60489113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899887084960938 × 2 - 1) × π
    -0.799774169921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51256465668562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60489113} λ = 2.60489113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51256465668562))-π/2
    2×atan(0.0810600811489109)-π/2
    2×0.0808832363426269-π/2
    0.161766472685254-1.57079632675     		φ = -1.40902985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60489113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.249268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40902985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.731464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59938 KachelY 58975 2.60489113 -1.40902985 149.249268 -80.731464
    Oben rechts KachelX + 1 59939 KachelY 58975 2.60498700 -1.40902985 149.254761 -80.731464
    Unten links KachelX 59938 KachelY + 1 58976 2.60489113 -1.40904529 149.249268 -80.732348
    Unten rechts KachelX + 1 59939 KachelY + 1 58976 2.60498700 -1.40904529 149.254761 -80.732348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40902985--1.40904529) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dl = 98.3682399991506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40902985--1.40904529) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dr = 98.3682399991506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60489113-2.60498700) × cos(-1.40902985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161061871223246 × 6371000     		do = 98.3746211564713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60489113-2.60498700) × cos(-1.40904529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161046632783882 × 6371000     		du = 98.3653137040738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40902985)-sin(-1.40904529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161061871223246-0.161046632783882)×R²
    abs(2.60498700-2.60489113)×1.52384393640459e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52384393640459e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52384393640459e-05×40589641000000     		ar = 9676.48056485096m²