Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59937 / 59447
↖ ↑ ↗
← S 81.139869°
E149.243774°		 ← 94.09 m → S 81.139869°
E149.249268°		 →
↑
94.10 m
↓
↑
94.10 m
↓
S 81.140715°
E149.243774°		 ← 94.08 m →
8 853 m²		 S 81.140715°
E149.249268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914573669433594 y=0.907096862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914573669433594 × 216)
    floor (0.914573669433594 × 65536)
    floor (59937.5)     		tx = 59937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907096862792969 × 216)
    floor (0.907096862792969 × 65536)
    floor (59447.5)     		ty = 59447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59937 / 59447 ti = "16/59937/59447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59937/59447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59937 ÷ 216
    59937 ÷ 65536     		x = 0.914566040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59447 ÷ 216
    59447 ÷ 65536     		y = 0.907089233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914566040039062 × 2 - 1) × π
    0.829132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60479525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907089233398438 × 2 - 1) × π
    -0.814178466796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.55781708992696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60479525} λ = 2.60479525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55781708992696))-π/2
    2×atan(0.0774736740562681)-π/2
    2×0.0773192264963762-π/2
    0.154638452992752-1.57079632675     		φ = -1.41615787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60479525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.243774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41615787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.139869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59937 KachelY 59447 2.60479525 -1.41615787 149.243774 -81.139869
    Oben rechts KachelX + 1 59938 KachelY 59447 2.60489113 -1.41615787 149.249268 -81.139869
    Unten links KachelX 59937 KachelY + 1 59448 2.60479525 -1.41617264 149.243774 -81.140715
    Unten rechts KachelX + 1 59938 KachelY + 1 59448 2.60489113 -1.41617264 149.249268 -81.140715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41615787--1.41617264) × R
    1.47700000001638e-05 × 6371000     		dl = 94.0996700010437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41615787--1.41617264) × R
    1.47700000001638e-05 × 6371000     		dr = 94.0996700010437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60479525-2.60489113) × cos(-1.41615787) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15402288035363 × 6371000     		do = 94.0851044178159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60479525-2.60489113) × cos(-1.41617264) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154008286583085 × 6371000     		du = 94.0761897914801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41615787)-sin(-1.41617264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15402288035363-0.154008286583085)×R²
    abs(2.60489113-2.60479525)×1.45937705443577e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.45937705443577e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.45937705443577e-05×40589641000000     		ar = 8852.95784622144m²