Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59937 / 30109
↖ ↑ ↗
← N 69.259067°
W 15.378113°		 ← 108.16 m → N 69.259067°
W 15.375366°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
N 69.258095°
W 15.378113°		 ← 108.17 m →
11 695 m²		 N 69.258095°
W 15.375366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457286834716797 y=0.229717254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457286834716797 × 217)
    floor (0.457286834716797 × 131072)
    floor (59937.5)     		tx = 59937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229717254638672 × 217)
    floor (0.229717254638672 × 131072)
    floor (30109.5)     		ty = 30109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59937 / 30109 ti = "17/59937/30109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59937/30109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59937 ÷ 217
    59937 ÷ 131072     		x = 0.457283020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30109 ÷ 217
    30109 ÷ 131072     		y = 0.229713439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457283020019531 × 2 - 1) × π
    -0.0854339599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26839870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229713439941406 × 2 - 1) × π
    0.540573120117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.69826054283973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26839870} λ = -0.26839870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69826054283973))-π/2
    2×atan(5.46443397123415)-π/2
    2×1.38979754555163-π/2
    2.77959509110326-1.57079632675     		φ = 1.20879876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26839870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.378113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20879876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.259067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59937 KachelY 30109 -0.26839870 1.20879876 -15.378113 69.259067
    Oben rechts KachelX + 1 59938 KachelY 30109 -0.26835076 1.20879876 -15.375366 69.259067
    Unten links KachelX 59937 KachelY + 1 30110 -0.26839870 1.20878179 -15.378113 69.258095
    Unten rechts KachelX + 1 59938 KachelY + 1 30110 -0.26835076 1.20878179 -15.375366 69.258095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20879876-1.20878179) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dl = 108.115870000739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20879876-1.20878179) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dr = 108.115870000739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26839870--0.26835076) × cos(1.20879876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35414304561524 × 6371000     		do = 108.164401772818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26839870--0.26835076) × cos(1.20878179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354158915760023 × 6371000     		du = 108.169248923532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20879876)-sin(1.20878179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35414304561524-0.354158915760023)×R²
    abs(-0.26835076--0.26839870)×1.58701447832144e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58701447832144e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58701447832144e-05×40589641000000     		ar = 11694.5504281133m²