Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59936 / 59042
↖ ↑ ↗
← S 80.790554°
E149.238281°		 ← 97.75 m → S 80.790554°
E149.243774°		 →
↑
97.73 m
↓
↑
97.73 m
↓
S 80.791433°
E149.238281°		 ← 97.74 m →
9 553 m²		 S 80.791433°
E149.243774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914558410644531 y=0.900917053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914558410644531 × 216)
    floor (0.914558410644531 × 65536)
    floor (59936.5)     		tx = 59936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900917053222656 × 216)
    floor (0.900917053222656 × 65536)
    floor (59042.5)     		ty = 59042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59936 / 59042 ti = "16/59936/59042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59936/59042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59936 ÷ 216
    59936 ÷ 65536     		x = 0.91455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59042 ÷ 216
    59042 ÷ 65536     		y = 0.900909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91455078125 × 2 - 1) × π
    0.8291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60469938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.80181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51898820123471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60469938} λ = 2.60469938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51898820123471))-π/2
    2×atan(0.0805410568789188)-π/2
    2×0.0803675786746044-π/2
    0.160735157349209-1.57079632675     		φ = -1.41006117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60469938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41006117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.790554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59936 KachelY 59042 2.60469938 -1.41006117 149.238281 -80.790554
    Oben rechts KachelX + 1 59937 KachelY 59042 2.60479525 -1.41006117 149.243774 -80.790554
    Unten links KachelX 59936 KachelY + 1 59043 2.60469938 -1.41007651 149.238281 -80.791433
    Unten rechts KachelX + 1 59937 KachelY + 1 59043 2.60479525 -1.41007651 149.243774 -80.791433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41006117--1.41007651) × R
    1.53399999998083e-05 × 6371000     		dl = 97.7311399987786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41006117--1.41007651) × R
    1.53399999998083e-05 × 6371000     		dr = 97.7311399987786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60469938-2.60479525) × cos(-1.41006117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160043930342153 × 6371000     		do = 97.7528753157169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60469938-2.60479525) × cos(-1.41007651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160028788057569 × 6371000     		du = 97.7436265934829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41006117)-sin(-1.41007651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160043930342153-0.160028788057569)×R²
    abs(2.60479525-2.60469938)×1.51422845843796e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51422845843796e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51422845843796e-05×40589641000000     		ar = 9553.04799907808m²