Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59936 / 41512
↖ ↑ ↗
← N 54.914514°
W 15.380859°		 ← 175.56 m → N 54.914514°
W 15.378113°		 →
↑
175.58 m
↓
↑
175.58 m
↓
N 54.912935°
W 15.380859°		 ← 175.56 m →
30 826 m²		 N 54.912935°
W 15.378113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457279205322266 y=0.316715240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457279205322266 × 217)
    floor (0.457279205322266 × 131072)
    floor (59936.5)     		tx = 59936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316715240478516 × 217)
    floor (0.316715240478516 × 131072)
    floor (41512.5)     		ty = 41512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59936 / 41512 ti = "17/59936/41512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59936/41512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59936 ÷ 217
    59936 ÷ 131072     		x = 0.457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41512 ÷ 217
    41512 ÷ 131072     		y = 0.31671142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.08544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26844664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31671142578125 × 2 - 1) × π
    0.3665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15163607647223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26844664} λ = -0.26844664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15163607647223))-π/2
    2×atan(3.16336418395063)-π/2
    2×1.26461770167114-π/2
    2.52923540334228-1.57079632675     		φ = 0.95843908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26844664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95843908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.914514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59936 KachelY 41512 -0.26844664 0.95843908 -15.380859 54.914514
    Oben rechts KachelX + 1 59937 KachelY 41512 -0.26839870 0.95843908 -15.378113 54.914514
    Unten links KachelX 59936 KachelY + 1 41513 -0.26844664 0.95841152 -15.380859 54.912935
    Unten rechts KachelX + 1 59937 KachelY + 1 41513 -0.26839870 0.95841152 -15.378113 54.912935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95843908-0.95841152) × R
    2.75600000000376e-05 × 6371000     		dl = 175.584760000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95843908-0.95841152) × R
    2.75600000000376e-05 × 6371000     		dr = 175.584760000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26844664--0.26839870) × cos(0.95843908) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574797979373664 × 6371000     		do = 175.558098200794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26844664--0.26839870) × cos(0.95841152) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574820531375264 × 6371000     		du = 175.564986162571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95843908)-sin(0.95841152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574797979373664-0.574820531375264)×R²
    abs(-0.26839870--0.26844664)×2.25520016000624e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25520016000624e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25520016000624e-05×40589641000000     		ar = 30825.9312511357m²