Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59935 / 86123
↖ ↑ ↗
← S 49.115231°
W 15.383606°		 ← 199.87 m → S 49.115231°
W 15.380859°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
S 49.117029°
W 15.383606°		 ← 199.86 m →
39 958 m²		 S 49.117029°
W 15.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457271575927734 y=0.657070159912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457271575927734 × 217)
    floor (0.457271575927734 × 131072)
    floor (59935.5)     		tx = 59935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657070159912109 × 217)
    floor (0.657070159912109 × 131072)
    floor (86123.5)     		ty = 86123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59935 / 86123 ti = "17/59935/86123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59935/86123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59935 ÷ 217
    59935 ÷ 131072     		x = 0.457267761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86123 ÷ 217
    86123 ÷ 131072     		y = 0.657066345214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457267761230469 × 2 - 1) × π
    -0.0854644775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26849457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657066345214844 × 2 - 1) × π
    -0.314132690429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.986876952478096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26849457} λ = -0.26849457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986876952478096))-π/2
    2×atan(0.372738956646857)-π/2
    2×0.35678691364847-π/2
    0.71357382729694-1.57079632675     		φ = -0.85722250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26849457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.383606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85722250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.115231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59935 KachelY 86123 -0.26849457 -0.85722250 -15.383606 -49.115231
    Oben rechts KachelX + 1 59936 KachelY 86123 -0.26844664 -0.85722250 -15.380859 -49.115231
    Unten links KachelX 59935 KachelY + 1 86124 -0.26849457 -0.85725388 -15.383606 -49.117029
    Unten rechts KachelX + 1 59936 KachelY + 1 86124 -0.26844664 -0.85725388 -15.380859 -49.117029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85722250--0.85725388) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dl = 199.921980000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85722250--0.85725388) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dr = 199.921980000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26849457--0.26844664) × cos(-0.85722250) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.654539856561262 × 6371000     		do = 199.871619315347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26849457--0.26844664) × cos(-0.85725388) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.654516132096147 × 6371000     		du = 199.864374764518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85722250)-sin(-0.85725388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654539856561262-0.654516132096147)×R²
    abs(-0.26844664--0.26849457)×2.37244651151158e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37244651151158e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37244651151158e-05×40589641000000     		ar = 39958.0057102488m²