Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59935 / 58858
↖ ↑ ↗
← S 80.627374°
E149.232788°		 ← 99.48 m → S 80.627374°
E149.238281°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
S 80.628269°
E149.232788°		 ← 99.47 m →
9 893 m²		 S 80.628269°
E149.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914543151855469 y=0.898109436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914543151855469 × 216)
    floor (0.914543151855469 × 65536)
    floor (59935.5)     		tx = 59935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898109436035156 × 216)
    floor (0.898109436035156 × 65536)
    floor (58858.5)     		ty = 58858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59935 / 58858 ti = "16/59935/58858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59935/58858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59935 ÷ 216
    59935 ÷ 65536     		x = 0.914535522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58858 ÷ 216
    58858 ÷ 65536     		y = 0.898101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914535522460938 × 2 - 1) × π
    0.829071044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60460350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898101806640625 × 2 - 1) × π
    -0.79620361328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.50134742217453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60460350} λ = 2.60460350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50134742217453))-π/2
    2×atan(0.0819744699576671)-π/2
    2×0.0817915890260377-π/2
    0.163583178052075-1.57079632675     		φ = -1.40721315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60460350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.232788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40721315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.627374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59935 KachelY 58858 2.60460350 -1.40721315 149.232788 -80.627374
    Oben rechts KachelX + 1 59936 KachelY 58858 2.60469938 -1.40721315 149.238281 -80.627374
    Unten links KachelX 59935 KachelY + 1 58859 2.60460350 -1.40722876 149.232788 -80.628269
    Unten rechts KachelX + 1 59936 KachelY + 1 58859 2.60469938 -1.40722876 149.238281 -80.628269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40721315--1.40722876) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dl = 99.4513099996415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40721315--1.40722876) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dr = 99.4513099996415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60460350-2.60469938) × cos(-1.40721315) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.162854586183216 × 6371000     		do = 99.47996499474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60460350-2.60469938) × cos(-1.40722876) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.1628391845556 × 6371000     		du = 99.470556887716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40721315)-sin(-1.40722876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162854586183216-0.1628391845556)×R²
    abs(2.60469938-2.60460350)×1.54016276165403e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.54016276165403e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.54016276165403e-05×40589641000000     		ar = 9892.9450135381m²