Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59934 / 41566
↖ ↑ ↗
← N 54.829172°
W 15.386352°		 ← 175.93 m → N 54.829172°
W 15.383606°		 →
↑
175.90 m
↓
↑
175.90 m
↓
N 54.827590°
W 15.386352°		 ← 175.94 m →
30 947 m²		 N 54.827590°
W 15.383606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457263946533203 y=0.317127227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457263946533203 × 217)
    floor (0.457263946533203 × 131072)
    floor (59934.5)     		tx = 59934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317127227783203 × 217)
    floor (0.317127227783203 × 131072)
    floor (41566.5)     		ty = 41566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59934 / 41566 ti = "17/59934/41566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59934/41566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59934 ÷ 217
    59934 ÷ 131072     		x = 0.457260131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41566 ÷ 217
    41566 ÷ 131072     		y = 0.317123413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457260131835938 × 2 - 1) × π
    -0.085479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26854251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317123413085938 × 2 - 1) × π
    0.365753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14904748389275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26854251} λ = -0.26854251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14904748389275))-π/2
    2×atan(3.15518611231228)-π/2
    2×1.26387295455478-π/2
    2.52774590910957-1.57079632675     		φ = 0.95694958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26854251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.386352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95694958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.829172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59934 KachelY 41566 -0.26854251 0.95694958 -15.386352 54.829172
    Oben rechts KachelX + 1 59935 KachelY 41566 -0.26849457 0.95694958 -15.383606 54.829172
    Unten links KachelX 59934 KachelY + 1 41567 -0.26854251 0.95692197 -15.386352 54.827590
    Unten rechts KachelX + 1 59935 KachelY + 1 41567 -0.26849457 0.95692197 -15.383606 54.827590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95694958-0.95692197) × R
    2.76099999999557e-05 × 6371000     		dl = 175.903309999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95694958-0.95692197) × R
    2.76099999999557e-05 × 6371000     		dr = 175.903309999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26854251--0.26849457) × cos(0.95694958) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57601619222337 × 6371000     		do = 175.930171761893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26854251--0.26849457) × cos(0.95692197) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.576038761474805 × 6371000     		du = 175.937064992214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95694958)-sin(0.95692197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57601619222337-0.576038761474805)×R²
    abs(-0.26849457--0.26854251)×2.25692514350673e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25692514350673e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25692514350673e-05×40589641000000     		ar = 30947.3058148054m²