Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59933 / 41559
↖ ↑ ↗
← N 54.840245°
W 15.389099°		 ← 175.88 m → N 54.840245°
W 15.386352°		 →
↑
175.84 m
↓
↑
175.84 m
↓
N 54.838664°
W 15.389099°		 ← 175.89 m →
30 928 m²		 N 54.838664°
W 15.386352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457256317138672 y=0.317073822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457256317138672 × 217)
    floor (0.457256317138672 × 131072)
    floor (59933.5)     		tx = 59933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317073822021484 × 217)
    floor (0.317073822021484 × 131072)
    floor (41559.5)     		ty = 41559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59933 / 41559 ti = "17/59933/41559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59933/41559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59933 ÷ 217
    59933 ÷ 131072     		x = 0.457252502441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41559 ÷ 217
    41559 ÷ 131072     		y = 0.317070007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457252502441406 × 2 - 1) × π
    -0.0854949951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26859045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317070007324219 × 2 - 1) × π
    0.365859985351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.14938304219009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26859045} λ = -0.26859045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14938304219009))-π/2
    2×atan(3.15624503884777)-π/2
    2×1.26396958480686-π/2
    2.52793916961371-1.57079632675     		φ = 0.95714284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26859045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.389099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95714284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.840245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59933 KachelY 41559 -0.26859045 0.95714284 -15.389099 54.840245
    Oben rechts KachelX + 1 59934 KachelY 41559 -0.26854251 0.95714284 -15.386352 54.840245
    Unten links KachelX 59933 KachelY + 1 41560 -0.26859045 0.95711524 -15.389099 54.838664
    Unten rechts KachelX + 1 59934 KachelY + 1 41560 -0.26854251 0.95711524 -15.386352 54.838664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95714284-0.95711524) × R
    2.76000000000165e-05 × 6371000     		dl = 175.839600000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95714284-0.95711524) × R
    2.76000000000165e-05 × 6371000     		dr = 175.839600000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26859045--0.26854251) × cos(0.95714284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.575858203344869 × 6371000     		do = 175.881917891562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26859045--0.26854251) × cos(0.95711524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.575880767494175 × 6371000     		du = 175.888809563561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95714284)-sin(0.95711524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575858203344869-0.575880767494175)×R²
    abs(-0.26854251--0.26859045)×2.25641493066808e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25641493066808e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25641493066808e-05×40589641000000     		ar = 30927.6120058246m²