Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59931 / 82643
↖ ↑ ↗
← S 42.461966°
W 15.394592°		 ← 225.27 m → S 42.461966°
W 15.391846°		 →
↑
225.34 m
↓
↑
225.34 m
↓
S 42.463993°
W 15.394592°		 ← 225.27 m →
50 763 m²		 S 42.463993°
W 15.391846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457241058349609 y=0.630519866943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457241058349609 × 217)
    floor (0.457241058349609 × 131072)
    floor (59931.5)     		tx = 59931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630519866943359 × 217)
    floor (0.630519866943359 × 131072)
    floor (82643.5)     		ty = 82643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59931 / 82643 ti = "17/59931/82643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59931/82643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59931 ÷ 217
    59931 ÷ 131072     		x = 0.457237243652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82643 ÷ 217
    82643 ÷ 131072     		y = 0.630516052246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457237243652344 × 2 - 1) × π
    -0.0855255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26868632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630516052246094 × 2 - 1) × π
    -0.261032104492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.820056541800301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26868632} λ = -0.26868632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820056541800301))-π/2
    2×atan(0.440406752411355)-π/2
    2×0.414847601306796-π/2
    0.829695202613593-1.57079632675     		φ = -0.74110112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26868632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.394592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74110112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.461966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59931 KachelY 82643 -0.26868632 -0.74110112 -15.394592 -42.461966
    Oben rechts KachelX + 1 59932 KachelY 82643 -0.26863839 -0.74110112 -15.391846 -42.461966
    Unten links KachelX 59931 KachelY + 1 82644 -0.26868632 -0.74113649 -15.394592 -42.463993
    Unten rechts KachelX + 1 59932 KachelY + 1 82644 -0.26863839 -0.74113649 -15.391846 -42.463993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74110112--0.74113649) × R
    3.53700000000901e-05 × 6371000     		dl = 225.342270000574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74110112--0.74113649) × R
    3.53700000000901e-05 × 6371000     		dr = 225.342270000574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26868632--0.26863839) × cos(-0.74110112) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.737725639290684 × 6371000     		do = 225.273398796728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26868632--0.26863839) × cos(-0.74113649) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.737701760519407 × 6371000     		du = 225.266107126657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74110112)-sin(-0.74113649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737725639290684-0.737701760519407)×R²
    abs(-0.26863839--0.26868632)×2.38787712762978e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38787712762978e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38787712762978e-05×40589641000000     		ar = 50762.7975002451m²