Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59931 / 59111
↖ ↑ ↗
← S 80.851018°
E149.210816°		 ← 97.12 m → S 80.851018°
E149.216308°		 →
↑
97.09 m
↓
↑
97.09 m
↓
S 80.851891°
E149.210816°		 ← 97.11 m →
9 429 m²		 S 80.851891°
E149.216308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914482116699219 y=0.901969909667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914482116699219 × 216)
    floor (0.914482116699219 × 65536)
    floor (59931.5)     		tx = 59931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901969909667969 × 216)
    floor (0.901969909667969 × 65536)
    floor (59111.5)     		ty = 59111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59931 / 59111 ti = "16/59931/59111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59931/59111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59931 ÷ 216
    59931 ÷ 65536     		x = 0.914474487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59111 ÷ 216
    59111 ÷ 65536     		y = 0.901962280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914474487304688 × 2 - 1) × π
    0.828948974609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60422001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901962280273438 × 2 - 1) × π
    -0.803924560546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52560349338228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60422001} λ = 2.60422001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52560349338228))-π/2
    2×atan(0.0800100127006145)-π/2
    2×0.079839934731161-π/2
    0.159679869462322-1.57079632675     		φ = -1.41111646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60422001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.210816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41111646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.851018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59931 KachelY 59111 2.60422001 -1.41111646 149.210816 -80.851018
    Oben rechts KachelX + 1 59932 KachelY 59111 2.60431588 -1.41111646 149.216308 -80.851018
    Unten links KachelX 59931 KachelY + 1 59112 2.60422001 -1.41113170 149.210816 -80.851891
    Unten rechts KachelX + 1 59932 KachelY + 1 59112 2.60431588 -1.41113170 149.216308 -80.851891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41111646--1.41113170) × R
    1.5240000000194e-05 × 6371000     		dl = 97.0940400012359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41111646--1.41113170) × R
    1.5240000000194e-05 × 6371000     		dr = 97.0940400012359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60422001-2.60431588) × cos(-1.41111646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159002154221367 × 6371000     		do = 97.1165712020629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60422001-2.60431588) × cos(-1.41113170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158987108082589 × 6371000     		du = 97.1073812045113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41111646)-sin(-1.41113170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159002154221367-0.158987108082589)×R²
    abs(2.60431588-2.60422001)×1.50461387784517e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50461387784517e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50461387784517e-05×40589641000000     		ar = 9428.99410244854m²