Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59931 / 41558
↖ ↑ ↗
← N 54.841827°
W 15.394592°		 ← 175.84 m → N 54.841827°
W 15.391846°		 →
↑
175.90 m
↓
↑
175.90 m
↓
N 54.840245°
W 15.394592°		 ← 175.85 m →
30 931 m²		 N 54.840245°
W 15.391846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457241058349609 y=0.317066192626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457241058349609 × 217)
    floor (0.457241058349609 × 131072)
    floor (59931.5)     		tx = 59931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317066192626953 × 217)
    floor (0.317066192626953 × 131072)
    floor (41558.5)     		ty = 41558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59931 / 41558 ti = "17/59931/41558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59931/41558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59931 ÷ 217
    59931 ÷ 131072     		x = 0.457237243652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41558 ÷ 217
    41558 ÷ 131072     		y = 0.317062377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457237243652344 × 2 - 1) × π
    -0.0855255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26868632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317062377929688 × 2 - 1) × π
    0.365875244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14943097908971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26868632} λ = -0.26868632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14943097908971))-π/2
    2×atan(3.15639634307587)-π/2
    2×1.26398338696478-π/2
    2.52796677392957-1.57079632675     		φ = 0.95717045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26868632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.394592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95717045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.841827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59931 KachelY 41558 -0.26868632 0.95717045 -15.394592 54.841827
    Oben rechts KachelX + 1 59932 KachelY 41558 -0.26863839 0.95717045 -15.391846 54.841827
    Unten links KachelX 59931 KachelY + 1 41559 -0.26868632 0.95714284 -15.394592 54.840245
    Unten rechts KachelX + 1 59932 KachelY + 1 41559 -0.26863839 0.95714284 -15.391846 54.840245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95717045-0.95714284) × R
    2.76099999999557e-05 × 6371000     		dl = 175.903309999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95717045-0.95714284) × R
    2.76099999999557e-05 × 6371000     		dr = 175.903309999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26868632--0.26863839) × cos(0.95717045) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.575835630581241 × 6371000     		do = 175.838337100522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26868632--0.26863839) × cos(0.95714284) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.575858203344869 × 6371000     		du = 175.845229965446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95717045)-sin(0.95714284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575835630581241-0.575858203344869)×R²
    abs(-0.26863839--0.26868632)×2.257276362716e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.257276362716e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.257276362716e-05×40589641000000     		ar = 30931.1517615926m²