Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59930 / 59688
↖ ↑ ↗
← S 81.341463°
E149.205322°		 ← 91.96 m → S 81.341463°
E149.210816°		 →
↑
91.93 m
↓
↑
91.93 m
↓
S 81.342289°
E149.205322°		 ← 91.95 m →
8 454 m²		 S 81.342289°
E149.210816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914466857910156 y=0.910774230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914466857910156 × 216)
    floor (0.914466857910156 × 65536)
    floor (59930.5)     		tx = 59930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910774230957031 × 216)
    floor (0.910774230957031 × 65536)
    floor (59688.5)     		ty = 59688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59930 / 59688 ti = "16/59930/59688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59930/59688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59930 ÷ 216
    59930 ÷ 65536     		x = 0.914459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59688 ÷ 216
    59688 ÷ 65536     		y = 0.9107666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914459228515625 × 2 - 1) × π
    0.82891845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60412413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.821533203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58092267554382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60412413} λ = 2.60412413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58092267554382))-π/2
    2×atan(0.0757041214469057)-π/2
    2×0.0755599937470758-π/2
    0.151119987494152-1.57079632675     		φ = -1.41967634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60412413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.205322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41967634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.341463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59930 KachelY 59688 2.60412413 -1.41967634 149.205322 -81.341463
    Oben rechts KachelX + 1 59931 KachelY 59688 2.60422001 -1.41967634 149.210816 -81.341463
    Unten links KachelX 59930 KachelY + 1 59689 2.60412413 -1.41969077 149.205322 -81.342289
    Unten rechts KachelX + 1 59931 KachelY + 1 59689 2.60422001 -1.41969077 149.210816 -81.342289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41967634--1.41969077) × R
    1.44300000000097e-05 × 6371000     		dl = 91.9335300000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41967634--1.41969077) × R
    1.44300000000097e-05 × 6371000     		dr = 91.9335300000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60412413-2.60422001) × cos(-1.41967634) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150545449067169 × 6371000     		do = 91.9609103698847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60412413-2.60422001) × cos(-1.41969077) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150531183508921 × 6371000     		du = 91.9521962325154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41967634)-sin(-1.41969077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150545449067169-0.150531183508921)×R²
    abs(2.60422001-2.60412413)×1.42655582487661e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42655582487661e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42655582487661e-05×40589641000000     		ar = 8453.89055146763m²