Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59930 / 41544
↖ ↑ ↗
← N 54.863963°
W 15.397339°		 ← 175.78 m → N 54.863963°
W 15.394592°		 →
↑
175.78 m
↓
↑
175.78 m
↓
N 54.862382°
W 15.397339°		 ← 175.79 m →
30 898 m²		 N 54.862382°
W 15.394592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457233428955078 y=0.316959381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457233428955078 × 217)
    floor (0.457233428955078 × 131072)
    floor (59930.5)     		tx = 59930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316959381103516 × 217)
    floor (0.316959381103516 × 131072)
    floor (41544.5)     		ty = 41544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59930 / 41544 ti = "17/59930/41544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59930/41544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59930 ÷ 217
    59930 ÷ 131072     		x = 0.457229614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41544 ÷ 217
    41544 ÷ 131072     		y = 0.31695556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457229614257812 × 2 - 1) × π
    -0.085540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26873426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31695556640625 × 2 - 1) × π
    0.3660888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15010209568439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26873426} λ = -0.26873426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15010209568439))-π/2
    2×atan(3.15851536401663)-π/2
    2×1.2641765603843-π/2
    2.52835312076859-1.57079632675     		φ = 0.95755679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26873426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.397339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95755679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.863963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59930 KachelY 41544 -0.26873426 0.95755679 -15.397339 54.863963
    Oben rechts KachelX + 1 59931 KachelY 41544 -0.26868632 0.95755679 -15.394592 54.863963
    Unten links KachelX 59930 KachelY + 1 41545 -0.26873426 0.95752920 -15.397339 54.862382
    Unten rechts KachelX + 1 59931 KachelY + 1 41545 -0.26868632 0.95752920 -15.394592 54.862382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95755679-0.95752920) × R
    2.75900000000773e-05 × 6371000     		dl = 175.775890000492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95755679-0.95752920) × R
    2.75900000000773e-05 × 6371000     		dr = 175.775890000492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26873426--0.26868632) × cos(0.95755679) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575519729364402 × 6371000     		do = 175.778539225811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26873426--0.26868632) × cos(0.95752920) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575542291913376 × 6371000     		du = 175.785430409027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95755679)-sin(0.95752920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575519729364402-0.575542291913376)×R²
    abs(-0.26868632--0.26873426)×2.25625489734815e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25625489734815e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25625489734815e-05×40589641000000     		ar = 30898.2348293978m²