Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59930 / 41504
↖ ↑ ↗
← N 54.927142°
W 15.397339°		 ← 175.50 m → N 54.927142°
W 15.394592°		 →
↑
175.46 m
↓
↑
175.46 m
↓
N 54.925564°
W 15.397339°		 ← 175.51 m →
30 794 m²		 N 54.925564°
W 15.394592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457233428955078 y=0.316654205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457233428955078 × 217)
    floor (0.457233428955078 × 131072)
    floor (59930.5)     		tx = 59930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316654205322266 × 217)
    floor (0.316654205322266 × 131072)
    floor (41504.5)     		ty = 41504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59930 / 41504 ti = "17/59930/41504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59930/41504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59930 ÷ 217
    59930 ÷ 131072     		x = 0.457229614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41504 ÷ 217
    41504 ÷ 131072     		y = 0.316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457229614257812 × 2 - 1) × π
    -0.085540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26873426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316650390625 × 2 - 1) × π
    0.36669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15201957166919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26873426} λ = -0.26873426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15201957166919))-π/2
    2×atan(3.16457755156687)-π/2
    2×1.26472790051116-π/2
    2.52945580102233-1.57079632675     		φ = 0.95865947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26873426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.397339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95865947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.927142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59930 KachelY 41504 -0.26873426 0.95865947 -15.397339 54.927142
    Oben rechts KachelX + 1 59931 KachelY 41504 -0.26868632 0.95865947 -15.394592 54.927142
    Unten links KachelX 59930 KachelY + 1 41505 -0.26873426 0.95863193 -15.397339 54.925564
    Unten rechts KachelX + 1 59931 KachelY + 1 41505 -0.26868632 0.95863193 -15.394592 54.925564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95865947-0.95863193) × R
    2.75399999999371e-05 × 6371000     		dl = 175.457339999599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95865947-0.95863193) × R
    2.75399999999371e-05 × 6371000     		dr = 175.457339999599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26873426--0.26868632) × cos(0.95865947) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57461762130305 × 6371000     		do = 175.503012203612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26873426--0.26868632) × cos(0.95863193) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574640160427341 × 6371000     		du = 175.509896232327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95865947)-sin(0.95863193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57461762130305-0.574640160427341)×R²
    abs(-0.26868632--0.26873426)×2.25391242903994e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25391242903994e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25391242903994e-05×40589641000000     		ar = 30793.8956117688m²