Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59929 / 31160
↖ ↑ ↗
← N 68.212369°
W 15.400086°		 ← 113.36 m → N 68.212369°
W 15.397339°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
N 68.211350°
W 15.400086°		 ← 113.37 m →
12 849 m²		 N 68.211350°
W 15.397339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457225799560547 y=0.237735748291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457225799560547 × 217)
    floor (0.457225799560547 × 131072)
    floor (59929.5)     		tx = 59929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237735748291016 × 217)
    floor (0.237735748291016 × 131072)
    floor (31160.5)     		ty = 31160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59929 / 31160 ti = "17/59929/31160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59929/31160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59929 ÷ 217
    59929 ÷ 131072     		x = 0.457221984863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31160 ÷ 217
    31160 ÷ 131072     		y = 0.23773193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457221984863281 × 2 - 1) × π
    -0.0855560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26878220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23773193359375 × 2 - 1) × π
    0.5245361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.64787886133905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26878220} λ = -0.26878220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64787886133905))-π/2
    2×atan(5.19594680638179)-π/2
    2×1.38066337972804-π/2
    2.76132675945608-1.57079632675     		φ = 1.19053043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26878220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.400086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19053043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.212369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59929 KachelY 31160 -0.26878220 1.19053043 -15.400086 68.212369
    Oben rechts KachelX + 1 59930 KachelY 31160 -0.26873426 1.19053043 -15.397339 68.212369
    Unten links KachelX 59929 KachelY + 1 31161 -0.26878220 1.19051264 -15.400086 68.211350
    Unten rechts KachelX + 1 59930 KachelY + 1 31161 -0.26873426 1.19051264 -15.397339 68.211350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19053043-1.19051264) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19053043-1.19051264) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26878220--0.26873426) × cos(1.19053043) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.371167385247963 × 6371000     		do = 113.364073303281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26878220--0.26873426) × cos(1.19051264) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.371183904377944 × 6371000     		du = 113.36911867078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19053043)-sin(1.19051264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371167385247963-0.371183904377944)×R²
    abs(-0.26873426--0.26878220)×1.65191299812406e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65191299812406e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65191299812406e-05×40589641000000     		ar = 12848.9801924036m²