Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59928 / 41448
↖ ↑ ↗
← N 55.015426°
W 15.402832°		 ← 175.08 m → N 55.015426°
W 15.400086°		 →
↑
175.08 m
↓
↑
175.08 m
↓
N 55.013851°
W 15.402832°		 ← 175.09 m →
30 653 m²		 N 55.013851°
W 15.400086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457218170166016 y=0.316226959228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457218170166016 × 217)
    floor (0.457218170166016 × 131072)
    floor (59928.5)     		tx = 59928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316226959228516 × 217)
    floor (0.316226959228516 × 131072)
    floor (41448.5)     		ty = 41448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59928 / 41448 ti = "17/59928/41448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59928/41448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59928 ÷ 217
    59928 ÷ 131072     		x = 0.45721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41448 ÷ 217
    41448 ÷ 131072     		y = 0.31622314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0855712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26883013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31622314453125 × 2 - 1) × π
    0.3675537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15470403804791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26883013} λ = -0.26883013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15470403804791))-π/2
    2×atan(3.17308416635914)-π/2
    2×1.26549832441295-π/2
    2.5309966488259-1.57079632675     		φ = 0.96020032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26883013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.402832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96020032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.015426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59928 KachelY 41448 -0.26883013 0.96020032 -15.402832 55.015426
    Oben rechts KachelX + 1 59929 KachelY 41448 -0.26878220 0.96020032 -15.400086 55.015426
    Unten links KachelX 59928 KachelY + 1 41449 -0.26883013 0.96017284 -15.402832 55.013851
    Unten rechts KachelX + 1 59929 KachelY + 1 41449 -0.26878220 0.96017284 -15.400086 55.013851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96020032-0.96017284) × R
    2.74799999999686e-05 × 6371000     		dl = 175.0750799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96020032-0.96017284) × R
    2.74799999999686e-05 × 6371000     		dr = 175.0750799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26883013--0.26878220) × cos(0.96020032) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.573355874111458 × 6371000     		do = 175.081113631004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26883013--0.26878220) × cos(0.96017284) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.573378388435924 × 6371000     		du = 175.087988650827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96020032)-sin(0.96017284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573355874111458-0.573378388435924)×R²
    abs(-0.26878220--0.26883013)×2.25143244665382e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25143244665382e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25143244665382e-05×40589641000000     		ar = 30652.9417996308m²