Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59927 / 59560
↖ ↑ ↗
← S 81.234966°
E149.188843°		 ← 93.08 m → S 81.234966°
E149.194336°		 →
↑
93.08 m
↓
↑
93.08 m
↓
S 81.235803°
E149.188843°		 ← 93.07 m →
8 664 m²		 S 81.235803°
E149.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914421081542969 y=0.908821105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914421081542969 × 216)
    floor (0.914421081542969 × 65536)
    floor (59927.5)     		tx = 59927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908821105957031 × 216)
    floor (0.908821105957031 × 65536)
    floor (59560.5)     		ty = 59560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59927 / 59560 ti = "16/59927/59560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59927/59560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59927 ÷ 216
    59927 ÷ 65536     		x = 0.914413452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59560 ÷ 216
    59560 ÷ 65536     		y = 0.9088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914413452148438 × 2 - 1) × π
    0.828826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60383651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9088134765625 × 2 - 1) × π
    -0.817626953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56865082924109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60383651} λ = 2.60383651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56865082924109))-π/2
    2×atan(0.0766388746325143)-π/2
    2×0.0764893546245113-π/2
    0.152978709249023-1.57079632675     		φ = -1.41781762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60383651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.188843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41781762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.234966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59927 KachelY 59560 2.60383651 -1.41781762 149.188843 -81.234966
    Oben rechts KachelX + 1 59928 KachelY 59560 2.60393239 -1.41781762 149.194336 -81.234966
    Unten links KachelX 59927 KachelY + 1 59561 2.60383651 -1.41783223 149.188843 -81.235803
    Unten rechts KachelX + 1 59928 KachelY + 1 59561 2.60393239 -1.41783223 149.194336 -81.235803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41781762--1.41783223) × R
    1.4610000000026e-05 × 6371000     		dl = 93.0803100001656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41781762--1.41783223) × R
    1.4610000000026e-05 × 6371000     		dr = 93.0803100001656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60383651-2.60393239) × cos(-1.41781762) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.152382724287716 × 6371000     		do = 93.0832126579535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60383651-2.60393239) × cos(-1.41783223) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.152368284893466 × 6371000     		du = 93.0743923326057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41781762)-sin(-1.41783223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152382724287716-0.152368284893466)×R²
    abs(2.60393239-2.60383651)×1.44393942497212e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.44393942497212e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.44393942497212e-05×40589641000000     		ar = 8663.80379086413m²