Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59926 / 59728
↖ ↑ ↗
← S 81.374479°
E149.183350°		 ← 91.60 m → S 81.374479°
E149.188843°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
S 81.375303°
E149.183350°		 ← 91.59 m →
8 392 m²		 S 81.375303°
E149.188843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914405822753906 y=0.911384582519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914405822753906 × 216)
    floor (0.914405822753906 × 65536)
    floor (59926.5)     		tx = 59926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911384582519531 × 216)
    floor (0.911384582519531 × 65536)
    floor (59728.5)     		ty = 59728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59926 / 59728 ti = "16/59926/59728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59926/59728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59926 ÷ 216
    59926 ÷ 65536     		x = 0.914398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59728 ÷ 216
    59728 ÷ 65536     		y = 0.911376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914398193359375 × 2 - 1) × π
    0.82879638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60374064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911376953125 × 2 - 1) × π
    -0.82275390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58475762751343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60374064} λ = 2.60374064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58475762751343))-π/2
    2×atan(0.075414355751147)-π/2
    2×0.0752718729918815-π/2
    0.150543745983763-1.57079632675     		φ = -1.42025258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60374064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.183350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42025258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.374479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59926 KachelY 59728 2.60374064 -1.42025258 149.183350 -81.374479
    Oben rechts KachelX + 1 59927 KachelY 59728 2.60383651 -1.42025258 149.188843 -81.374479
    Unten links KachelX 59926 KachelY + 1 59729 2.60374064 -1.42026696 149.183350 -81.375303
    Unten rechts KachelX + 1 59927 KachelY + 1 59729 2.60383651 -1.42026696 149.188843 -81.375303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42025258--1.42026696) × R
    1.43799999998695e-05 × 6371000     		dl = 91.6149799991686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42025258--1.42026696) × R
    1.43799999998695e-05 × 6371000     		dr = 91.6149799991686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60374064-2.60383651) × cos(-1.42025258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149975751460138 × 6371000     		do = 91.6033547884102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60374064-2.60383651) × cos(-1.42026696) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149961534087102 × 6371000     		du = 91.5946709908383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42025258)-sin(-1.42026696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149975751460138-0.149961534087102)×R²
    abs(2.60383651-2.60374064)×1.42173730360018e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42173730360018e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42173730360018e-05×40589641000000     		ar = 8391.84173391453m²