Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59925 / 82640
↖ ↑ ↗
← S 42.455888°
W 15.411072°		 ← 225.30 m → S 42.455888°
W 15.408325°		 →
↑
225.28 m
↓
↑
225.28 m
↓
S 42.457914°
W 15.411072°		 ← 225.29 m →
50 753 m²		 S 42.457914°
W 15.408325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457195281982422 y=0.630496978759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457195281982422 × 217)
    floor (0.457195281982422 × 131072)
    floor (59925.5)     		tx = 59925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630496978759766 × 217)
    floor (0.630496978759766 × 131072)
    floor (82640.5)     		ty = 82640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59925 / 82640 ti = "17/59925/82640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59925/82640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59925 ÷ 217
    59925 ÷ 131072     		x = 0.457191467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82640 ÷ 217
    82640 ÷ 131072     		y = 0.6304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457191467285156 × 2 - 1) × π
    -0.0856170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26897394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6304931640625 × 2 - 1) × π
    -0.260986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.81991273110144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26897394} λ = -0.26897394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81991273110144))-π/2
    2×atan(0.440470092168561)-π/2
    2×0.414900650301505-π/2
    0.82980130060301-1.57079632675     		φ = -0.74099503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26897394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.411072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74099503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.455888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59925 KachelY 82640 -0.26897394 -0.74099503 -15.411072 -42.455888
    Oben rechts KachelX + 1 59926 KachelY 82640 -0.26892601 -0.74099503 -15.408325 -42.455888
    Unten links KachelX 59925 KachelY + 1 82641 -0.26897394 -0.74103039 -15.411072 -42.457914
    Unten rechts KachelX + 1 59926 KachelY + 1 82641 -0.26892601 -0.74103039 -15.408325 -42.457914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74099503--0.74103039) × R
    3.53600000000398e-05 × 6371000     		dl = 225.278560000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74099503--0.74103039) × R
    3.53600000000398e-05 × 6371000     		dr = 225.278560000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26897394--0.26892601) × cos(-0.74099503) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.737797256566414 × 6371000     		do = 225.295267993689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26897394--0.26892601) × cos(-0.74103039) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.737773387313956 × 6371000     		du = 225.287979230304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74099503)-sin(-0.74103039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737797256566414-0.737773387313956)×R²
    abs(-0.26892601--0.26897394)×2.38692524580086e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38692524580086e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38692524580086e-05×40589641000000     		ar = 50753.3725526547m²