Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59925 / 41497
↖ ↑ ↗
← N 54.938188°
W 15.411072°		 ← 175.42 m → N 54.938188°
W 15.408325°		 →
↑
175.46 m
↓
↑
175.46 m
↓
N 54.936610°
W 15.411072°		 ← 175.43 m →
30 779 m²		 N 54.936610°
W 15.408325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457195281982422 y=0.316600799560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457195281982422 × 217)
    floor (0.457195281982422 × 131072)
    floor (59925.5)     		tx = 59925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316600799560547 × 217)
    floor (0.316600799560547 × 131072)
    floor (41497.5)     		ty = 41497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59925 / 41497 ti = "17/59925/41497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59925/41497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59925 ÷ 217
    59925 ÷ 131072     		x = 0.457191467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41497 ÷ 217
    41497 ÷ 131072     		y = 0.316596984863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457191467285156 × 2 - 1) × π
    -0.0856170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26897394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316596984863281 × 2 - 1) × π
    0.366806030273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.15235512996653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26897394} λ = -0.26897394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15235512996653))-π/2
    2×atan(3.16563963000652)-π/2
    2×1.26482429612821-π/2
    2.52964859225642-1.57079632675     		φ = 0.95885227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26897394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.411072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95885227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.938188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59925 KachelY 41497 -0.26897394 0.95885227 -15.411072 54.938188
    Oben rechts KachelX + 1 59926 KachelY 41497 -0.26892601 0.95885227 -15.408325 54.938188
    Unten links KachelX 59925 KachelY + 1 41498 -0.26897394 0.95882473 -15.411072 54.936610
    Unten rechts KachelX + 1 59926 KachelY + 1 41498 -0.26892601 0.95882473 -15.408325 54.936610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95885227-0.95882473) × R
    2.75399999999371e-05 × 6371000     		dl = 175.457339999599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95885227-0.95882473) × R
    2.75399999999371e-05 × 6371000     		dr = 175.457339999599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26897394--0.26892601) × cos(0.95885227) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.574459818860369 × 6371000     		do = 175.418216440742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26897394--0.26892601) × cos(0.95882473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.574482361035354 × 6371000     		du = 175.425099965056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95885227)-sin(0.95882473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574459818860369-0.574482361035354)×R²
    abs(-0.26892601--0.26897394)×2.25421749853183e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25421749853183e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25421749853183e-05×40589641000000     		ar = 30779.017528556m²