Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59924 / 59741
↖ ↑ ↗
← S 81.385182°
E149.172363°		 ← 91.50 m → S 81.385182°
E149.177857°		 →
↑
91.49 m
↓
↑
91.49 m
↓
S 81.386005°
E149.172363°		 ← 91.49 m →
8 371 m²		 S 81.386005°
E149.177857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914375305175781 y=0.911582946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914375305175781 × 216)
    floor (0.914375305175781 × 65536)
    floor (59924.5)     		tx = 59924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911582946777344 × 216)
    floor (0.911582946777344 × 65536)
    floor (59741.5)     		ty = 59741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59924 / 59741 ti = "16/59924/59741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59924/59741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59924 ÷ 216
    59924 ÷ 65536     		x = 0.91436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59741 ÷ 216
    59741 ÷ 65536     		y = 0.911575317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91436767578125 × 2 - 1) × π
    0.8287353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60354889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911575317382812 × 2 - 1) × π
    -0.823150634765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58600398690355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60354889} λ = 2.60354889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58600398690355))-π/2
    2×atan(0.0753204209111515)-π/2
    2×0.0751784687109868-π/2
    0.150356937421974-1.57079632675     		φ = -1.42043939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60354889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.172363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42043939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.385182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59924 KachelY 59741 2.60354889 -1.42043939 149.172363 -81.385182
    Oben rechts KachelX + 1 59925 KachelY 59741 2.60364477 -1.42043939 149.177857 -81.385182
    Unten links KachelX 59924 KachelY + 1 59742 2.60354889 -1.42045375 149.172363 -81.386005
    Unten rechts KachelX + 1 59925 KachelY + 1 59742 2.60364477 -1.42045375 149.177857 -81.386005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42043939--1.42045375) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dl = 91.487559999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42043939--1.42045375) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dr = 91.487559999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60354889-2.60364477) × cos(-1.42043939) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149791051726052 × 6371000     		do = 91.5000856375551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60354889-2.60364477) × cos(-1.42045375) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149776853724795 × 6371000     		du = 91.4914127674746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42043939)-sin(-1.42045375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149791051726052-0.149776853724795)×R²
    abs(2.60364477-2.60354889)×1.41980012564324e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41980012564324e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41980012564324e-05×40589641000000     		ar = 8370.72284504047m²