Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59923 / 41502
↖ ↑ ↗
← N 54.930298°
W 15.416565°		 ← 175.49 m → N 54.930298°
W 15.413818°		 →
↑
175.46 m
↓
↑
175.46 m
↓
N 54.928720°
W 15.416565°		 ← 175.50 m →
30 791 m²		 N 54.928720°
W 15.413818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457180023193359 y=0.316638946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457180023193359 × 217)
    floor (0.457180023193359 × 131072)
    floor (59923.5)     		tx = 59923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316638946533203 × 217)
    floor (0.316638946533203 × 131072)
    floor (41502.5)     		ty = 41502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59923 / 41502 ti = "17/59923/41502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59923/41502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59923 ÷ 217
    59923 ÷ 131072     		x = 0.457176208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41502 ÷ 217
    41502 ÷ 131072     		y = 0.316635131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457176208496094 × 2 - 1) × π
    -0.0856475830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26906982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316635131835938 × 2 - 1) × π
    0.366729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15211544546843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26906982} λ = -0.26906982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15211544546843))-π/2
    2×atan(3.16488096618425)-π/2
    2×1.26475544481757-π/2
    2.52951088963514-1.57079632675     		φ = 0.95871456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26906982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.416565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95871456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.930298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59923 KachelY 41502 -0.26906982 0.95871456 -15.416565 54.930298
    Oben rechts KachelX + 1 59924 KachelY 41502 -0.26902188 0.95871456 -15.413818 54.930298
    Unten links KachelX 59923 KachelY + 1 41503 -0.26906982 0.95868702 -15.416565 54.928720
    Unten rechts KachelX + 1 59924 KachelY + 1 41503 -0.26902188 0.95868702 -15.413818 54.928720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95871456-0.95868702) × R
    2.75400000000481e-05 × 6371000     		dl = 175.457340000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95871456-0.95868702) × R
    2.75400000000481e-05 × 6371000     		dr = 175.457340000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26906982--0.26902188) × cos(0.95871456) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574572533562491 × 6371000     		do = 175.489241247087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26906982--0.26902188) × cos(0.95868702) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574595073558562 × 6371000     		du = 175.496125542066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95871456)-sin(0.95868702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574572533562491-0.574595073558562)×R²
    abs(-0.26902188--0.26906982)×2.2539996070936e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2539996070936e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2539996070936e-05×40589641000000     		ar = 30791.4794198738m²