Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59922 / 41503
↖ ↑ ↗
← N 54.928720°
W 15.419311°		 ← 175.46 m → N 54.928720°
W 15.416565°		 →
↑
175.52 m
↓
↑
175.52 m
↓
N 54.927142°
W 15.419311°		 ← 175.47 m →
30 797 m²		 N 54.927142°
W 15.416565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457172393798828 y=0.316646575927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457172393798828 × 217)
    floor (0.457172393798828 × 131072)
    floor (59922.5)     		tx = 59922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316646575927734 × 217)
    floor (0.316646575927734 × 131072)
    floor (41503.5)     		ty = 41503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59922 / 41503 ti = "17/59922/41503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59922/41503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59922 ÷ 217
    59922 ÷ 131072     		x = 0.457168579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41503 ÷ 217
    41503 ÷ 131072     		y = 0.316642761230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457168579101562 × 2 - 1) × π
    -0.085662841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26911775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316642761230469 × 2 - 1) × π
    0.366714477539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.15206750856881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26911775} λ = -0.26911775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15206750856881))-π/2
    2×atan(3.16472925523937)-π/2
    2×1.26474167293453-π/2
    2.52948334586906-1.57079632675     		φ = 0.95868702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26911775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.419311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95868702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.928720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59922 KachelY 41503 -0.26911775 0.95868702 -15.419311 54.928720
    Oben rechts KachelX + 1 59923 KachelY 41503 -0.26906982 0.95868702 -15.416565 54.928720
    Unten links KachelX 59922 KachelY + 1 41504 -0.26911775 0.95865947 -15.419311 54.927142
    Unten rechts KachelX + 1 59923 KachelY + 1 41504 -0.26906982 0.95865947 -15.416565 54.927142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95868702-0.95865947) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dl = 175.521049999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95868702-0.95865947) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dr = 175.521049999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26911775--0.26906982) × cos(0.95868702) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.574595073558562 × 6371000     		do = 175.459518089746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26911775--0.26906982) × cos(0.95865947) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.57461762130305 × 6371000     		du = 175.466403314775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95868702)-sin(0.95865947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574595073558562-0.57461762130305)×R²
    abs(-0.26906982--0.26911775)×2.25477444883992e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25477444883992e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25477444883992e-05×40589641000000     		ar = 30797.4431005581m²