Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59922 / 30224
↖ ↑ ↗
← N 69.146920°
W 15.419311°		 ← 108.70 m → N 69.146920°
W 15.416565°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
N 69.145942°
W 15.419311°		 ← 108.71 m →
11 815 m²		 N 69.145942°
W 15.416565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457172393798828 y=0.230594635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457172393798828 × 217)
    floor (0.457172393798828 × 131072)
    floor (59922.5)     		tx = 59922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230594635009766 × 217)
    floor (0.230594635009766 × 131072)
    floor (30224.5)     		ty = 30224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59922 / 30224 ti = "17/59922/30224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59922/30224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59922 ÷ 217
    59922 ÷ 131072     		x = 0.457168579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30224 ÷ 217
    30224 ÷ 131072     		y = 0.2305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457168579101562 × 2 - 1) × π
    -0.085662841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26911775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2305908203125 × 2 - 1) × π
    0.538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69274779938342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26911775} λ = -0.26911775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69274779938342))-π/2
    2×atan(5.43439282925126)-π/2
    2×1.38881887572299-π/2
    2.77763775144598-1.57079632675     		φ = 1.20684142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26911775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.419311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20684142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.146920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59922 KachelY 30224 -0.26911775 1.20684142 -15.419311 69.146920
    Oben rechts KachelX + 1 59923 KachelY 30224 -0.26906982 1.20684142 -15.416565 69.146920
    Unten links KachelX 59922 KachelY + 1 30225 -0.26911775 1.20682436 -15.419311 69.145942
    Unten rechts KachelX + 1 59923 KachelY + 1 30225 -0.26906982 1.20682436 -15.416565 69.145942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20684142-1.20682436) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20684142-1.20682436) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26911775--0.26906982) × cos(1.20684142) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.355972853325578 × 6371000     		do = 108.700593116331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26911775--0.26906982) × cos(1.20682436) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.35598879578059 × 6371000     		du = 108.705461336757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20684142)-sin(1.20682436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355972853325578-0.35598879578059)×R²
    abs(-0.26906982--0.26911775)×1.59424550113529e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.59424550113529e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.59424550113529e-05×40589641000000     		ar = 11814.8515891124m²