Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59921 / 59721
↖ ↑ ↗
← S 81.368710°
E149.155884°		 ← 91.66 m → S 81.368710°
E149.161377°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
S 81.369534°
E149.155884°		 ← 91.66 m →
8 397 m²		 S 81.369534°
E149.161377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914329528808594 y=0.911277770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914329528808594 × 216)
    floor (0.914329528808594 × 65536)
    floor (59921.5)     		tx = 59921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911277770996094 × 216)
    floor (0.911277770996094 × 65536)
    floor (59721.5)     		ty = 59721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59921 / 59721 ti = "16/59921/59721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59921/59721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59921 ÷ 216
    59921 ÷ 65536     		x = 0.914321899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59721 ÷ 216
    59721 ÷ 65536     		y = 0.911270141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914321899414062 × 2 - 1) × π
    0.828643798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60326127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911270141601562 × 2 - 1) × π
    -0.822540283203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58408651091875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60326127} λ = 2.60326127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58408651091875))-π/2
    2×atan(0.0754649845637866)-π/2
    2×0.0753222152991988-π/2
    0.150644430598398-1.57079632675     		φ = -1.42015190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60326127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.155884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42015190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.368710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59921 KachelY 59721 2.60326127 -1.42015190 149.155884 -81.368710
    Oben rechts KachelX + 1 59922 KachelY 59721 2.60335714 -1.42015190 149.161377 -81.368710
    Unten links KachelX 59921 KachelY + 1 59722 2.60326127 -1.42016628 149.155884 -81.369534
    Unten rechts KachelX + 1 59922 KachelY + 1 59722 2.60335714 -1.42016628 149.161377 -81.369534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42015190--1.42016628) × R
    1.43799999998695e-05 × 6371000     		dl = 91.6149799991686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42015190--1.42016628) × R
    1.43799999998695e-05 × 6371000     		dr = 91.6149799991686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60326127-2.60335714) × cos(-1.42015190) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150075291976364 × 6371000     		do = 91.6641529183403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60326127-2.60335714) × cos(-1.42016628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150061074820522 × 6371000     		du = 91.6554692534275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42015190)-sin(-1.42016628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150075291976364-0.150061074820522)×R²
    abs(2.60335714-2.60326127)×1.42171558425996e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42171558425996e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42171558425996e-05×40589641000000     		ar = 8397.4117596062m²