Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59921 / 58978
↖ ↑ ↗
← S 80.734118°
E149.155884°		 ← 98.35 m → S 80.734118°
E149.161377°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
S 80.735002°
E149.155884°		 ← 98.34 m →
9 674 m²		 S 80.735002°
E149.161377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914329528808594 y=0.899940490722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914329528808594 × 216)
    floor (0.914329528808594 × 65536)
    floor (59921.5)     		tx = 59921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899940490722656 × 216)
    floor (0.899940490722656 × 65536)
    floor (58978.5)     		ty = 58978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59921 / 58978 ti = "16/59921/58978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59921/58978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59921 ÷ 216
    59921 ÷ 65536     		x = 0.914321899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58978 ÷ 216
    58978 ÷ 65536     		y = 0.899932861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914321899414062 × 2 - 1) × π
    0.828643798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60326127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.79986572265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51285227808334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60326127} λ = 2.60326127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51285227808334))-π/2
    2×atan(0.081036769887641)-π/2
    2×0.0808600772101623-π/2
    0.161720154420325-1.57079632675     		φ = -1.40907617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60326127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.155884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40907617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.734118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59921 KachelY 58978 2.60326127 -1.40907617 149.155884 -80.734118
    Oben rechts KachelX + 1 59922 KachelY 58978 2.60335714 -1.40907617 149.161377 -80.734118
    Unten links KachelX 59921 KachelY + 1 58979 2.60326127 -1.40909161 149.155884 -80.735002
    Unten rechts KachelX + 1 59922 KachelY + 1 58979 2.60335714 -1.40909161 149.161377 -80.735002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40907617--1.40909161) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dl = 98.3682399991506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40907617--1.40909161) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dr = 98.3682399991506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60326127-2.60335714) × cos(-1.40907617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161016155789979 × 6371000     		do = 98.3466987289319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60326127-2.60335714) × cos(-1.40909161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161000917235449 × 6371000     		du = 98.3373912061922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40907617)-sin(-1.40909161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161016155789979-0.161000917235449)×R²
    abs(2.60335714-2.60326127)×1.52385545306166e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52385545306166e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52385545306166e-05×40589641000000     		ar = 9673.73388141634m²