Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59921 / 41505
↖ ↑ ↗
← N 54.925564°
W 15.422058°		 ← 175.51 m → N 54.925564°
W 15.419311°		 →
↑
175.52 m
↓
↑
175.52 m
↓
N 54.923985°
W 15.422058°		 ← 175.52 m →
30 806 m²		 N 54.923985°
W 15.419311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457164764404297 y=0.316661834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457164764404297 × 217)
    floor (0.457164764404297 × 131072)
    floor (59921.5)     		tx = 59921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316661834716797 × 217)
    floor (0.316661834716797 × 131072)
    floor (41505.5)     		ty = 41505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59921 / 41505 ti = "17/59921/41505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59921/41505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59921 ÷ 217
    59921 ÷ 131072     		x = 0.457160949707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41505 ÷ 217
    41505 ÷ 131072     		y = 0.316658020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457160949707031 × 2 - 1) × π
    -0.0856781005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26916569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316658020019531 × 2 - 1) × π
    0.366683959960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.15197163476957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26916569} λ = -0.26916569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15197163476957))-π/2
    2×atan(3.1644258551664)-π/2
    2×1.26471412754746-π/2
    2.52942825509492-1.57079632675     		φ = 0.95863193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26916569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.422058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95863193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.925564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59921 KachelY 41505 -0.26916569 0.95863193 -15.422058 54.925564
    Oben rechts KachelX + 1 59922 KachelY 41505 -0.26911775 0.95863193 -15.419311 54.925564
    Unten links KachelX 59921 KachelY + 1 41506 -0.26916569 0.95860438 -15.422058 54.923985
    Unten rechts KachelX + 1 59922 KachelY + 1 41506 -0.26911775 0.95860438 -15.419311 54.923985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95863193-0.95860438) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dl = 175.521049999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95863193-0.95860438) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dr = 175.521049999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26916569--0.26911775) × cos(0.95863193) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574640160427341 × 6371000     		do = 175.509896232327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26916569--0.26911775) × cos(0.95860438) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574662707299698 × 6371000     		du = 175.516782627502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95863193)-sin(0.95860438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574640160427341-0.574662707299698)×R²
    abs(-0.26911775--0.26916569)×2.25468723572542e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25468723572542e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25468723572542e-05×40589641000000     		ar = 30806.2856276454m²