Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59921 / 41500
↖ ↑ ↗
← N 54.933454°
W 15.422058°		 ← 175.48 m → N 54.933454°
W 15.419311°		 →
↑
175.46 m
↓
↑
175.46 m
↓
N 54.931877°
W 15.422058°		 ← 175.48 m →
30 789 m²		 N 54.931877°
W 15.419311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457164764404297 y=0.316623687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457164764404297 × 217)
    floor (0.457164764404297 × 131072)
    floor (59921.5)     		tx = 59921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316623687744141 × 217)
    floor (0.316623687744141 × 131072)
    floor (41500.5)     		ty = 41500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59921 / 41500 ti = "17/59921/41500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59921/41500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59921 ÷ 217
    59921 ÷ 131072     		x = 0.457160949707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41500 ÷ 217
    41500 ÷ 131072     		y = 0.316619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457160949707031 × 2 - 1) × π
    -0.0856781005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26916569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316619873046875 × 2 - 1) × π
    0.36676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15221131926767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26916569} λ = -0.26916569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15221131926767))-π/2
    2×atan(3.16518440989254)-π/2
    2×1.2647829869627-π/2
    2.5295659739254-1.57079632675     		φ = 0.95876965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26916569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.422058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95876965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.933454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59921 KachelY 41500 -0.26916569 0.95876965 -15.422058 54.933454
    Oben rechts KachelX + 1 59922 KachelY 41500 -0.26911775 0.95876965 -15.419311 54.933454
    Unten links KachelX 59921 KachelY + 1 41501 -0.26916569 0.95874211 -15.422058 54.931877
    Unten rechts KachelX + 1 59922 KachelY + 1 41501 -0.26911775 0.95874211 -15.419311 54.931877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95876965-0.95874211) × R
    2.75400000000481e-05 × 6371000     		dl = 175.457340000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95876965-0.95874211) × R
    2.75400000000481e-05 × 6371000     		dr = 175.457340000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26916569--0.26911775) × cos(0.95876965) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574527444078157 × 6371000     		do = 175.475469757968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26916569--0.26911775) × cos(0.95874211) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57454998494594 × 6371000     		du = 175.482354319191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95876965)-sin(0.95874211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574527444078157-0.57454998494594)×R²
    abs(-0.26911775--0.26916569)×2.25408677829719e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25408677829719e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25408677829719e-05×40589641000000     		ar = 30789.0631344358m²