Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59920 / 59024
↖ ↑ ↗
← S 80.774716°
E149.150391°		 ← 97.92 m → S 80.774716°
E149.155884°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
S 80.775596°
E149.150391°		 ← 97.91 m →
9 588 m²		 S 80.775596°
E149.155884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914314270019531 y=0.900642395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914314270019531 × 216)
    floor (0.914314270019531 × 65536)
    floor (59920.5)     		tx = 59920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900642395019531 × 216)
    floor (0.900642395019531 × 65536)
    floor (59024.5)     		ty = 59024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59920 / 59024 ti = "16/59920/59024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59920/59024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59920 ÷ 216
    59920 ÷ 65536     		x = 0.914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59024 ÷ 216
    59024 ÷ 65536     		y = 0.900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914306640625 × 2 - 1) × π
    0.82861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60316540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.80126953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51726247284839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60316540} λ = 2.60316540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51726247284839))-π/2
    2×atan(0.0806801688672682)-π/2
    2×0.0805057925392438-π/2
    0.161011585078488-1.57079632675     		φ = -1.40978474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60316540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40978474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.774716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59920 KachelY 59024 2.60316540 -1.40978474 149.150391 -80.774716
    Oben rechts KachelX + 1 59921 KachelY 59024 2.60326127 -1.40978474 149.155884 -80.774716
    Unten links KachelX 59920 KachelY + 1 59025 2.60316540 -1.40980011 149.150391 -80.775596
    Unten rechts KachelX + 1 59921 KachelY + 1 59025 2.60326127 -1.40980011 149.155884 -80.775596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40978474--1.40980011) × R
    1.5369999999848e-05 × 6371000     		dl = 97.9222699990316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40978474--1.40980011) × R
    1.5369999999848e-05 × 6371000     		dr = 97.9222699990316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60316540-2.60326127) × cos(-1.40978474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160316791011568 × 6371000     		do = 97.9195352755097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60316540-2.60326127) × cos(-1.40980011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160301619794144 × 6371000     		du = 97.910268881451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40978474)-sin(-1.40980011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160316791011568-0.160301619794144)×R²
    abs(2.60326127-2.60316540)×1.51712174241703e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51712174241703e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51712174241703e-05×40589641000000     		ar = 9588.04947835208m²