Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59919 / 82639
↖ ↑ ↗
← S 42.453861°
W 15.427552°		 ← 225.35 m → S 42.453861°
W 15.424805°		 →
↑
225.34 m
↓
↑
225.34 m
↓
S 42.455888°
W 15.427552°		 ← 225.34 m →
50 780 m²		 S 42.455888°
W 15.424805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457149505615234 y=0.630489349365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457149505615234 × 217)
    floor (0.457149505615234 × 131072)
    floor (59919.5)     		tx = 59919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630489349365234 × 217)
    floor (0.630489349365234 × 131072)
    floor (82639.5)     		ty = 82639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59919 / 82639 ti = "17/59919/82639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59919/82639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59919 ÷ 217
    59919 ÷ 131072     		x = 0.457145690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82639 ÷ 217
    82639 ÷ 131072     		y = 0.630485534667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457145690917969 × 2 - 1) × π
    -0.0857086181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26926157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630485534667969 × 2 - 1) × π
    -0.260971069335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.81986479420182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26926157} λ = -0.26926157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81986479420182))-π/2
    2×atan(0.440491207445251)-π/2
    2×0.414918334444191-π/2
    0.829836668888382-1.57079632675     		φ = -0.74095966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26926157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.427552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74095966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.453861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59919 KachelY 82639 -0.26926157 -0.74095966 -15.427552 -42.453861
    Oben rechts KachelX + 1 59920 KachelY 82639 -0.26921363 -0.74095966 -15.424805 -42.453861
    Unten links KachelX 59919 KachelY + 1 82640 -0.26926157 -0.74099503 -15.427552 -42.455888
    Unten rechts KachelX + 1 59920 KachelY + 1 82640 -0.26921363 -0.74099503 -15.424805 -42.455888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74095966--0.74099503) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dl = 225.342269999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74095966--0.74099503) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dr = 225.342269999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26926157--0.26921363) × cos(-0.74095966) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.737821131646345 × 6371000     		do = 225.349565120835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26926157--0.26921363) × cos(-0.74099503) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.737797256566414 × 6371000     		du = 225.34227305688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74095966)-sin(-0.74099503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737821131646345-0.737797256566414)×R²
    abs(-0.26921363--0.26926157)×2.38750799309573e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38750799309573e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38750799309573e-05×40589641000000     		ar = 50779.9609481246m²