Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59919 / 58923
↖ ↑ ↗
← S 80.685344°
E149.144897°		 ← 98.87 m → S 80.685344°
E149.150391°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
S 80.686233°
E149.144897°		 ← 98.86 m →
9 776 m²		 S 80.686233°
E149.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914299011230469 y=0.899101257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914299011230469 × 216)
    floor (0.914299011230469 × 65536)
    floor (59919.5)     		tx = 59919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899101257324219 × 216)
    floor (0.899101257324219 × 65536)
    floor (58923.5)     		ty = 58923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59919 / 58923 ti = "16/59919/58923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59919/58923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59919 ÷ 216
    59919 ÷ 65536     		x = 0.914291381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58923 ÷ 216
    58923 ÷ 65536     		y = 0.899093627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914291381835938 × 2 - 1) × π
    0.828582763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60306952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899093627929688 × 2 - 1) × π
    -0.798187255859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.50757921912514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60306952} λ = 2.60306952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50757921912514))-π/2
    2×atan(0.0814652101557011)-π/2
    2×0.0812857075779325-π/2
    0.162571415155865-1.57079632675     		φ = -1.40822491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60306952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.144897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40822491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.685344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59919 KachelY 58923 2.60306952 -1.40822491 149.144897 -80.685344
    Oben rechts KachelX + 1 59920 KachelY 58923 2.60316540 -1.40822491 149.150391 -80.685344
    Unten links KachelX 59919 KachelY + 1 58924 2.60306952 -1.40824043 149.144897 -80.686233
    Unten rechts KachelX + 1 59920 KachelY + 1 58924 2.60316540 -1.40824043 149.150391 -80.686233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40822491--1.40824043) × R
    1.55200000000466e-05 × 6371000     		dl = 98.8779200002969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40822491--1.40824043) × R
    1.55200000000466e-05 × 6371000     		dr = 98.8779200002969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60306952-2.60316540) × cos(-1.40822491) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.161856249913129 × 6371000     		do = 98.8701298066201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60306952-2.60316540) × cos(-1.40824043) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.16184093453498 × 6371000     		du = 98.8607743852106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40822491)-sin(-1.40824043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161856249913129-0.16184093453498)×R²
    abs(2.60316540-2.60306952)×1.53153781495829e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.53153781495829e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.53153781495829e-05×40589641000000     		ar = 9775.61026356319m²