Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59918 / 30294
↖ ↑ ↗
← N 69.078373°
W 15.430298°		 ← 109.04 m → N 69.078373°
W 15.427552°		 →
↑
109.01 m
↓
↑
109.01 m
↓
N 69.077393°
W 15.430298°		 ← 109.05 m →
11 887 m²		 N 69.077393°
W 15.427552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457141876220703 y=0.231128692626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457141876220703 × 217)
    floor (0.457141876220703 × 131072)
    floor (59918.5)     		tx = 59918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231128692626953 × 217)
    floor (0.231128692626953 × 131072)
    floor (30294.5)     		ty = 30294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59918 / 30294 ti = "17/59918/30294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59918/30294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59918 ÷ 217
    59918 ÷ 131072     		x = 0.457138061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30294 ÷ 217
    30294 ÷ 131072     		y = 0.231124877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457138061523438 × 2 - 1) × π
    -0.085723876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26930950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231124877929688 × 2 - 1) × π
    0.537750244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68939221641002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26930950} λ = -0.26930950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68939221641002))-π/2
    2×atan(5.41618783447015)-π/2
    2×1.38822069025103-π/2
    2.77644138050206-1.57079632675     		φ = 1.20564505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26930950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.430298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20564505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.078373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59918 KachelY 30294 -0.26930950 1.20564505 -15.430298 69.078373
    Oben rechts KachelX + 1 59919 KachelY 30294 -0.26926157 1.20564505 -15.427552 69.078373
    Unten links KachelX 59918 KachelY + 1 30295 -0.26930950 1.20562794 -15.430298 69.077393
    Unten rechts KachelX + 1 59919 KachelY + 1 30295 -0.26926157 1.20562794 -15.427552 69.077393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20564505-1.20562794) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dl = 109.007809999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20564505-1.20562794) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dr = 109.007809999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26930950--0.26926157) × cos(1.20564505) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.357090601640665 × 6371000     		do = 109.041911010855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26930950--0.26926157) × cos(1.20562794) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.357106583521857 × 6371000     		du = 109.046791270539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20564505)-sin(1.20562794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357090601640665-0.357106583521857)×R²
    abs(-0.26926157--0.26930950)×1.59818811920065e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.59818811920065e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.59818811920065e-05×40589641000000     		ar = 11886.6859109549m²