Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59916 / 59724
↖ ↑ ↗
← S 81.371182°
E149.128418°		 ← 91.65 m → S 81.371182°
E149.133911°		 →
↑
91.68 m
↓
↑
91.68 m
↓
S 81.372007°
E149.128418°		 ← 91.64 m →
8 402 m²		 S 81.372007°
E149.133911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914253234863281 y=0.911323547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914253234863281 × 216)
    floor (0.914253234863281 × 65536)
    floor (59916.5)     		tx = 59916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911323547363281 × 216)
    floor (0.911323547363281 × 65536)
    floor (59724.5)     		ty = 59724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59916 / 59724 ti = "16/59916/59724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59916/59724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59916 ÷ 216
    59916 ÷ 65536     		x = 0.91424560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59724 ÷ 216
    59724 ÷ 65536     		y = 0.91131591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91424560546875 × 2 - 1) × π
    0.8284912109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60278190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.8226318359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.58437413231647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60278190} λ = 2.60278190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58437413231647))-π/2
    2×atan(0.0754432823406089)-π/2
    2×0.0753006359343862-π/2
    0.150601271868772-1.57079632675     		φ = -1.42019505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60278190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.128418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42019505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.371182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59916 KachelY 59724 2.60278190 -1.42019505 149.128418 -81.371182
    Oben rechts KachelX + 1 59917 KachelY 59724 2.60287778 -1.42019505 149.133911 -81.371182
    Unten links KachelX 59916 KachelY + 1 59725 2.60278190 -1.42020944 149.128418 -81.372007
    Unten rechts KachelX + 1 59917 KachelY + 1 59725 2.60287778 -1.42020944 149.133911 -81.372007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42019505--1.42020944) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dl = 91.678690000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42019505--1.42020944) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dr = 91.678690000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60278190-2.60287778) × cos(-1.42019505) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150032630528938 × 6371000     		do = 91.6476544068346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60278190-2.60287778) × cos(-1.42020944) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150018403393159 × 6371000     		du = 91.6389637398882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42019505)-sin(-1.42020944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150032630528938-0.150018403393159)×R²
    abs(2.60287778-2.60278190)×1.42271357784218e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42271357784218e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42271357784218e-05×40589641000000     		ar = 8401.73852333926m²