Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59916 / 30244
↖ ↑ ↗
← N 69.127357°
W 15.435791°		 ← 108.82 m → N 69.127357°
W 15.433044°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
N 69.126379°
W 15.435791°		 ← 108.83 m →
11 842 m²		 N 69.126379°
W 15.433044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457126617431641 y=0.230747222900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457126617431641 × 217)
    floor (0.457126617431641 × 131072)
    floor (59916.5)     		tx = 59916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230747222900391 × 217)
    floor (0.230747222900391 × 131072)
    floor (30244.5)     		ty = 30244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59916 / 30244 ti = "17/59916/30244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59916/30244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59916 ÷ 217
    59916 ÷ 131072     		x = 0.457122802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30244 ÷ 217
    30244 ÷ 131072     		y = 0.230743408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457122802734375 × 2 - 1) × π
    -0.08575439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26940538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230743408203125 × 2 - 1) × π
    0.53851318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69178906139102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26940538} λ = -0.26940538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69178906139102))-π/2
    2×atan(5.42918516717087)-π/2
    2×1.38864815691378-π/2
    2.77729631382756-1.57079632675     		φ = 1.20649999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26940538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.435791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20649999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.127357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59916 KachelY 30244 -0.26940538 1.20649999 -15.435791 69.127357
    Oben rechts KachelX + 1 59917 KachelY 30244 -0.26935744 1.20649999 -15.433044 69.127357
    Unten links KachelX 59916 KachelY + 1 30245 -0.26940538 1.20648291 -15.435791 69.126379
    Unten rechts KachelX + 1 59917 KachelY + 1 30245 -0.26935744 1.20648291 -15.433044 69.126379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20649999-1.20648291) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dl = 108.81667999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20649999-1.20648291) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dr = 108.81667999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26940538--0.26935744) × cos(1.20649999) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.356291897641137 × 6371000     		do = 108.820716493103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26940538--0.26935744) × cos(1.20648291) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.356307856709076 × 6371000     		du = 108.825590803238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20649999)-sin(1.20648291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356291897641137-0.356307856709076)×R²
    abs(-0.26935744--0.26940538)×1.59590679388311e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59590679388311e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59590679388311e-05×40589641000000     		ar = 11841.7742871879m²