Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59915 / 58904
↖ ↑ ↗
← S 80.668436°
E149.122925°		 ← 99.04 m → S 80.668436°
E149.128418°		 →
↑
99.01 m
↓
↑
99.01 m
↓
S 80.669326°
E149.122925°		 ← 99.03 m →
9 805 m²		 S 80.669326°
E149.128418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914237976074219 y=0.898811340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914237976074219 × 216)
    floor (0.914237976074219 × 65536)
    floor (59915.5)     		tx = 59915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898811340332031 × 216)
    floor (0.898811340332031 × 65536)
    floor (58904.5)     		ty = 58904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59915 / 58904 ti = "16/59915/58904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59915/58904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59915 ÷ 216
    59915 ÷ 65536     		x = 0.914230346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58904 ÷ 216
    58904 ÷ 65536     		y = 0.8988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914230346679688 × 2 - 1) × π
    0.828460693359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60268603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.797607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50575761693958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60268603} λ = 2.60268603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50575761693958))-π/2
    2×atan(0.0816137426030112)-π/2
    2×0.0814332590018612-π/2
    0.162866518003722-1.57079632675     		φ = -1.40792981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60268603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.122925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40792981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.668436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59915 KachelY 58904 2.60268603 -1.40792981 149.122925 -80.668436
    Oben rechts KachelX + 1 59916 KachelY 58904 2.60278190 -1.40792981 149.128418 -80.668436
    Unten links KachelX 59915 KachelY + 1 58905 2.60268603 -1.40794535 149.122925 -80.669326
    Unten rechts KachelX + 1 59916 KachelY + 1 58905 2.60278190 -1.40794535 149.128418 -80.669326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40792981--1.40794535) × R
    1.55400000001471e-05 × 6371000     		dl = 99.0053400009372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40792981--1.40794535) × R
    1.55400000001471e-05 × 6371000     		dr = 99.0053400009372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60268603-2.60278190) × cos(-1.40792981) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162147451774995 × 6371000     		do = 99.0376804808297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60268603-2.60278190) × cos(-1.40794535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16213211740339 × 6371000     		du = 99.0283144341926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40792981)-sin(-1.40794535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162147451774995-0.16213211740339)×R²
    abs(2.60278190-2.60268603)×1.5334371605169e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5334371605169e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5334371605169e-05×40589641000000     		ar = 9804.79558490222m²