Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59915 / 30243
↖ ↑ ↗
← N 69.128336°
W 15.438537°		 ← 108.79 m → N 69.128336°
W 15.435791°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
N 69.127357°
W 15.438537°		 ← 108.80 m →
11 839 m²		 N 69.127357°
W 15.435791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457118988037109 y=0.230739593505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457118988037109 × 217)
    floor (0.457118988037109 × 131072)
    floor (59915.5)     		tx = 59915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230739593505859 × 217)
    floor (0.230739593505859 × 131072)
    floor (30243.5)     		ty = 30243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59915 / 30243 ti = "17/59915/30243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59915/30243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59915 ÷ 217
    59915 ÷ 131072     		x = 0.457115173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30243 ÷ 217
    30243 ÷ 131072     		y = 0.230735778808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457115173339844 × 2 - 1) × π
    -0.0857696533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26945331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230735778808594 × 2 - 1) × π
    0.538528442382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.69183699829064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26945331} λ = -0.26945331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69183699829064))-π/2
    2×atan(5.42944543171333)-π/2
    2×1.38865669648706-π/2
    2.77731339297412-1.57079632675     		φ = 1.20651707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26945331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.438537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20651707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.128336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59915 KachelY 30243 -0.26945331 1.20651707 -15.438537 69.128336
    Oben rechts KachelX + 1 59916 KachelY 30243 -0.26940538 1.20651707 -15.435791 69.128336
    Unten links KachelX 59915 KachelY + 1 30244 -0.26945331 1.20649999 -15.438537 69.127357
    Unten rechts KachelX + 1 59916 KachelY + 1 30244 -0.26940538 1.20649999 -15.435791 69.127357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20651707-1.20649999) × R
    1.70800000001137e-05 × 6371000     		dl = 108.816680000724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20651707-1.20649999) × R
    1.70800000001137e-05 × 6371000     		dr = 108.816680000724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26945331--0.26940538) × cos(1.20651707) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.356275938469258 × 6371000     		do = 108.793143811068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26945331--0.26940538) × cos(1.20649999) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.356291897641137 × 6371000     		du = 108.79801713619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20651707)-sin(1.20649999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356275938469258-0.356291897641137)×R²
    abs(-0.26940538--0.26945331)×1.59591718787988e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.59591718787988e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.59591718787988e-05×40589641000000     		ar = 11838.7738663736m²