Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59914 / 59168
↖ ↑ ↗
← S 80.900668°
E149.117431°		 ← 96.60 m → S 80.900668°
E149.122925°		 →
↑
96.58 m
↓
↑
96.58 m
↓
S 80.901537°
E149.117431°		 ← 96.59 m →
9 330 m²		 S 80.901537°
E149.122925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914222717285156 y=0.902839660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914222717285156 × 216)
    floor (0.914222717285156 × 65536)
    floor (59914.5)     		tx = 59914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902839660644531 × 216)
    floor (0.902839660644531 × 65536)
    floor (59168.5)     		ty = 59168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59914 / 59168 ti = "16/59914/59168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59914/59168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59914 ÷ 216
    59914 ÷ 65536     		x = 0.914215087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59168 ÷ 216
    59168 ÷ 65536     		y = 0.90283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914215087890625 × 2 - 1) × π
    0.82843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60259015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90283203125 × 2 - 1) × π
    -0.8056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53106829993897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60259015} λ = 2.60259015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53106829993897))-π/2
    2×atan(0.0795739659992223)-π/2
    2×0.0794066466781825-π/2
    0.158813293356365-1.57079632675     		φ = -1.41198303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60259015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.117431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41198303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.900668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59914 KachelY 59168 2.60259015 -1.41198303 149.117431 -80.900668
    Oben rechts KachelX + 1 59915 KachelY 59168 2.60268603 -1.41198303 149.122925 -80.900668
    Unten links KachelX 59914 KachelY + 1 59169 2.60259015 -1.41199819 149.117431 -80.901537
    Unten rechts KachelX + 1 59915 KachelY + 1 59169 2.60268603 -1.41199819 149.122925 -80.901537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41198303--1.41199819) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dl = 96.5843600000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41198303--1.41199819) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dr = 96.5843600000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60259015-2.60268603) × cos(-1.41198303) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158146548926799 × 6371000     		do = 96.6040534687643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60259015-2.60268603) × cos(-1.41199819) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158131579687348 × 6371000     		du = 96.5949094866911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41198303)-sin(-1.41199819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158146548926799-0.158131579687348)×R²
    abs(2.60268603-2.60259015)×1.49692394510459e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49692394510459e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49692394510459e-05×40589641000000     		ar = 9329.9990950616m²