Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59914 / 58878
↖ ↑ ↗
← S 80.645249°
E149.117431°		 ← 99.29 m → S 80.645249°
E149.122925°		 →
↑
99.32 m
↓
↑
99.32 m
↓
S 80.646142°
E149.117431°		 ← 99.28 m →
9 862 m²		 S 80.646142°
E149.122925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914222717285156 y=0.898414611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914222717285156 × 216)
    floor (0.914222717285156 × 65536)
    floor (59914.5)     		tx = 59914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898414611816406 × 216)
    floor (0.898414611816406 × 65536)
    floor (58878.5)     		ty = 58878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59914 / 58878 ti = "16/59914/58878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59914/58878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59914 ÷ 216
    59914 ÷ 65536     		x = 0.914215087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58878 ÷ 216
    58878 ÷ 65536     		y = 0.898406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914215087890625 × 2 - 1) × π
    0.82843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60259015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.79681396484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.50326489815933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60259015} λ = 2.60259015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50326489815933))-π/2
    2×atan(0.0818174364822293)-π/2
    2×0.0816356017493334-π/2
    0.163271203498667-1.57079632675     		φ = -1.40752512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60259015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.117431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40752512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.645249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59914 KachelY 58878 2.60259015 -1.40752512 149.117431 -80.645249
    Oben rechts KachelX + 1 59915 KachelY 58878 2.60268603 -1.40752512 149.122925 -80.645249
    Unten links KachelX 59914 KachelY + 1 58879 2.60259015 -1.40754071 149.117431 -80.646142
    Unten rechts KachelX + 1 59915 KachelY + 1 58879 2.60268603 -1.40754071 149.122925 -80.646142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40752512--1.40754071) × R
    1.55899999998432e-05 × 6371000     		dl = 99.3238899990012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40752512--1.40754071) × R
    1.55899999998432e-05 × 6371000     		dr = 99.3238899990012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60259015-2.60268603) × cos(-1.40752512) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.162546773037281 × 6371000     		do = 99.2919368789818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60259015-2.60268603) × cos(-1.40754071) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.162531390351441 × 6371000     		du = 99.2825403425704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40752512)-sin(-1.40754071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162546773037281-0.162531390351441)×R²
    abs(2.60268603-2.60259015)×1.53826858396156e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.53826858396156e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.53826858396156e-05×40589641000000     		ar = 9861.59476622231m²