Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59914 / 41510
↖ ↑ ↗
← N 54.917671°
W 15.441284°		 ← 175.54 m → N 54.917671°
W 15.438537°		 →
↑
175.52 m
↓
↑
175.52 m
↓
N 54.916093°
W 15.441284°		 ← 175.55 m →
30 812 m²		 N 54.916093°
W 15.438537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457111358642578 y=0.316699981689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457111358642578 × 217)
    floor (0.457111358642578 × 131072)
    floor (59914.5)     		tx = 59914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316699981689453 × 217)
    floor (0.316699981689453 × 131072)
    floor (41510.5)     		ty = 41510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59914 / 41510 ti = "17/59914/41510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59914/41510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59914 ÷ 217
    59914 ÷ 131072     		x = 0.457107543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41510 ÷ 217
    41510 ÷ 131072     		y = 0.316696166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457107543945312 × 2 - 1) × π
    -0.085784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26950125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316696166992188 × 2 - 1) × π
    0.366607666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15173195027147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26950125} λ = -0.26950125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15173195027147))-π/2
    2×atan(3.16366748223227)-π/2
    2×1.26464525462348-π/2
    2.52929050924696-1.57079632675     		φ = 0.95849418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26950125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.441284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95849418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.917671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59914 KachelY 41510 -0.26950125 0.95849418 -15.441284 54.917671
    Oben rechts KachelX + 1 59915 KachelY 41510 -0.26945331 0.95849418 -15.438537 54.917671
    Unten links KachelX 59914 KachelY + 1 41511 -0.26950125 0.95846663 -15.441284 54.916093
    Unten rechts KachelX + 1 59915 KachelY + 1 41511 -0.26945331 0.95846663 -15.438537 54.916093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95849418-0.95846663) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dl = 175.521049999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95849418-0.95846663) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dr = 175.521049999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26950125--0.26945331) × cos(0.95849418) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574752890427252 × 6371000     		do = 175.54432687597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26950125--0.26945331) × cos(0.95846663) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574775435118586 × 6371000     		du = 175.551212605004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95849418)-sin(0.95846663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574752890427252-0.574775435118586)×R²
    abs(-0.26945331--0.26950125)×2.25446913340033e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25446913340033e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25446913340033e-05×40589641000000     		ar = 30812.3288719786m²