Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59913 / 58879
↖ ↑ ↗
← S 80.646142°
E149.111938°		 ← 99.27 m → S 80.646142°
E149.117431°		 →
↑
99.26 m
↓
↑
99.26 m
↓
S 80.647035°
E149.111938°		 ← 99.26 m →
9 853 m²		 S 80.647035°
E149.117431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914207458496094 y=0.898429870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914207458496094 × 216)
    floor (0.914207458496094 × 65536)
    floor (59913.5)     		tx = 59913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898429870605469 × 216)
    floor (0.898429870605469 × 65536)
    floor (58879.5)     		ty = 58879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59913 / 58879 ti = "16/59913/58879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59913/58879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59913 ÷ 216
    59913 ÷ 65536     		x = 0.914199829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58879 ÷ 216
    58879 ÷ 65536     		y = 0.898422241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914199829101562 × 2 - 1) × π
    0.828399658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60249428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898422241210938 × 2 - 1) × π
    -0.796844482421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50336077195857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60249428} λ = 2.60249428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50336077195857))-π/2
    2×atan(0.0818095927097618)-π/2
    2×0.0816278101296915-π/2
    0.163255620259383-1.57079632675     		φ = -1.40754071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60249428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.111938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40754071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.646142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59913 KachelY 58879 2.60249428 -1.40754071 149.111938 -80.646142
    Oben rechts KachelX + 1 59914 KachelY 58879 2.60259015 -1.40754071 149.117431 -80.646142
    Unten links KachelX 59913 KachelY + 1 58880 2.60249428 -1.40755629 149.111938 -80.647035
    Unten rechts KachelX + 1 59914 KachelY + 1 58880 2.60259015 -1.40755629 149.117431 -80.647035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40754071--1.40755629) × R
    1.5580000000126e-05 × 6371000     		dl = 99.2601800008031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40754071--1.40755629) × R
    1.5580000000126e-05 × 6371000     		dr = 99.2601800008031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60249428-2.60259015) × cos(-1.40754071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162531390351441 × 6371000     		do = 99.272185467754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60249428-2.60259015) × cos(-1.40755629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162516017493157 × 6371000     		du = 99.2627959139243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40754071)-sin(-1.40755629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162531390351441-0.162516017493157)×R²
    abs(2.60259015-2.60249428)×1.53728582837909e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.53728582837909e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.53728582837909e-05×40589641000000     		ar = 9853.30899459139m²