Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59913 / 41431
↖ ↑ ↗
← N 55.042188°
W 15.444031°		 ← 175 m → N 55.042188°
W 15.441284°		 →
↑
175.01 m
↓
↑
175.01 m
↓
N 55.040614°
W 15.444031°		 ← 175.01 m →
30 628 m²		 N 55.040614°
W 15.441284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457103729248047 y=0.316097259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457103729248047 × 217)
    floor (0.457103729248047 × 131072)
    floor (59913.5)     		tx = 59913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316097259521484 × 217)
    floor (0.316097259521484 × 131072)
    floor (41431.5)     		ty = 41431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59913 / 41431 ti = "17/59913/41431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59913/41431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59913 ÷ 217
    59913 ÷ 131072     		x = 0.457099914550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41431 ÷ 217
    41431 ÷ 131072     		y = 0.316093444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457099914550781 × 2 - 1) × π
    -0.0858001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26954919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316093444824219 × 2 - 1) × π
    0.367813110351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.15551896534145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26954919} λ = -0.26954919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15551896534145))-π/2
    2×atan(3.17567105317018)-π/2
    2×1.2657318681048-π/2
    2.53146373620959-1.57079632675     		φ = 0.96066741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26954919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.444031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96066741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.042188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59913 KachelY 41431 -0.26954919 0.96066741 -15.444031 55.042188
    Oben rechts KachelX + 1 59914 KachelY 41431 -0.26950125 0.96066741 -15.441284 55.042188
    Unten links KachelX 59913 KachelY + 1 41432 -0.26954919 0.96063994 -15.444031 55.040614
    Unten rechts KachelX + 1 59914 KachelY + 1 41432 -0.26950125 0.96063994 -15.441284 55.040614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96066741-0.96063994) × R
    2.74700000000294e-05 × 6371000     		dl = 175.011370000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96066741-0.96063994) × R
    2.74700000000294e-05 × 6371000     		dr = 175.011370000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26954919--0.26950125) × cos(0.96066741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572973121735196 × 6371000     		do = 175.000739705968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26954919--0.26950125) × cos(0.96063994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572995635221152 × 6371000     		du = 175.007615904076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96066741)-sin(0.96063994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572973121735196-0.572995635221152)×R²
    abs(-0.26950125--0.26954919)×2.2513485956388e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2513485956388e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2513485956388e-05×40589641000000     		ar = 30627.720915285m²