Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59912 / 58936
↖ ↑ ↗
← S 80.696895°
E149.106446°		 ← 98.74 m → S 80.696895°
E149.111938°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
S 80.697783°
E149.106446°		 ← 98.73 m →
9 750 m²		 S 80.697783°
E149.111938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914192199707031 y=0.899299621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914192199707031 × 216)
    floor (0.914192199707031 × 65536)
    floor (59912.5)     		tx = 59912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899299621582031 × 216)
    floor (0.899299621582031 × 65536)
    floor (58936.5)     		ty = 58936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59912 / 58936 ti = "16/59912/58936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59912/58936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59912 ÷ 216
    59912 ÷ 65536     		x = 0.9141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58936 ÷ 216
    58936 ÷ 65536     		y = 0.8992919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9141845703125 × 2 - 1) × π
    0.828369140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60239841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8992919921875 × 2 - 1) × π
    -0.798583984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.50882557851526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60239841} λ = 2.60239841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50882557851526))-π/2
    2×atan(0.0813637384742825)-π/2
    2×0.0811849040542701-π/2
    0.16236980810854-1.57079632675     		φ = -1.40842652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60239841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40842652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.696895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59912 KachelY 58936 2.60239841 -1.40842652 149.106446 -80.696895
    Oben rechts KachelX + 1 59913 KachelY 58936 2.60249428 -1.40842652 149.111938 -80.696895
    Unten links KachelX 59912 KachelY + 1 58937 2.60239841 -1.40844202 149.106446 -80.697783
    Unten rechts KachelX + 1 59913 KachelY + 1 58937 2.60249428 -1.40844202 149.111938 -80.697783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40842652--1.40844202) × R
    1.55000000001682e-05 × 6371000     		dl = 98.7505000010713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40842652--1.40844202) × R
    1.55000000001682e-05 × 6371000     		dr = 98.7505000010713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60239841-2.60249428) × cos(-1.40842652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161657294984636 × 6371000     		do = 98.7382987078961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60239841-2.60249428) × cos(-1.40844202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161641998837365 × 6371000     		du = 98.7289560082147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40842652)-sin(-1.40844202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161657294984636-0.161641998837365)×R²
    abs(2.60249428-2.60239841)×1.52961472713042e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52961472713042e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52961472713042e-05×40589641000000     		ar = 9749.99506868881m²