Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59911 / 59527
↖ ↑ ↗
← S 81.207299°
E149.100952°		 ← 93.37 m → S 81.207299°
E149.106446°		 →
↑
93.34 m
↓
↑
93.34 m
↓
S 81.208139°
E149.100952°		 ← 93.37 m →
8 715 m²		 S 81.208139°
E149.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914176940917969 y=0.908317565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914176940917969 × 216)
    floor (0.914176940917969 × 65536)
    floor (59911.5)     		tx = 59911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908317565917969 × 216)
    floor (0.908317565917969 × 65536)
    floor (59527.5)     		ty = 59527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59911 / 59527 ti = "16/59911/59527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59911/59527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59911 ÷ 216
    59911 ÷ 65536     		x = 0.914169311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59527 ÷ 216
    59527 ÷ 65536     		y = 0.908309936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914169311523438 × 2 - 1) × π
    0.828338623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60230253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908309936523438 × 2 - 1) × π
    -0.816619873046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56548699386617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60230253} λ = 2.60230253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56548699386617))-π/2
    2×atan(0.0768817313919943)-π/2
    2×0.0767307888177706-π/2
    0.153461577635541-1.57079632675     		φ = -1.41733475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60230253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.100952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41733475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.207299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59911 KachelY 59527 2.60230253 -1.41733475 149.100952 -81.207299
    Oben rechts KachelX + 1 59912 KachelY 59527 2.60239841 -1.41733475 149.106446 -81.207299
    Unten links KachelX 59911 KachelY + 1 59528 2.60230253 -1.41734940 149.100952 -81.208139
    Unten rechts KachelX + 1 59912 KachelY + 1 59528 2.60239841 -1.41734940 149.106446 -81.208139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41733475--1.41734940) × R
    1.46500000000049e-05 × 6371000     		dl = 93.3351500000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41733475--1.41734940) × R
    1.46500000000049e-05 × 6371000     		dr = 93.3351500000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60230253-2.60239841) × cos(-1.41733475) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.152859937335656 × 6371000     		do = 93.3747189545642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60230253-2.60239841) × cos(-1.41734940) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.152845459488054 × 6371000     		du = 93.3658751399291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41733475)-sin(-1.41734940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152859937335656-0.152845459488054)×R²
    abs(2.60239841-2.60230253)×1.44778476022234e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.44778476022234e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.44778476022234e-05×40589641000000     		ar = 8714.73068071762m²