Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59911 / 30230
↖ ↑ ↗
← N 69.141053°
W 15.449524°		 ← 108.75 m → N 69.141053°
W 15.446777°		 →
↑
108.75 m
↓
↑
108.75 m
↓
N 69.140075°
W 15.449524°		 ← 108.76 m →
11 827 m²		 N 69.140075°
W 15.446777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457088470458984 y=0.230640411376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457088470458984 × 217)
    floor (0.457088470458984 × 131072)
    floor (59911.5)     		tx = 59911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230640411376953 × 217)
    floor (0.230640411376953 × 131072)
    floor (30230.5)     		ty = 30230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59911 / 30230 ti = "17/59911/30230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59911/30230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59911 ÷ 217
    59911 ÷ 131072     		x = 0.457084655761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30230 ÷ 217
    30230 ÷ 131072     		y = 0.230636596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457084655761719 × 2 - 1) × π
    -0.0858306884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26964506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230636596679688 × 2 - 1) × π
    0.538726806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.6924601779857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26964506} λ = -0.26964506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6924601779857))-π/2
    2×atan(5.43283000635138)-π/2
    2×1.38876767613846-π/2
    2.77753535227692-1.57079632675     		φ = 1.20673903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26964506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.449524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20673903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.141053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59911 KachelY 30230 -0.26964506 1.20673903 -15.449524 69.141053
    Oben rechts KachelX + 1 59912 KachelY 30230 -0.26959712 1.20673903 -15.446777 69.141053
    Unten links KachelX 59911 KachelY + 1 30231 -0.26964506 1.20672196 -15.449524 69.140075
    Unten rechts KachelX + 1 59912 KachelY + 1 30231 -0.26959712 1.20672196 -15.446777 69.140075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20673903-1.20672196) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dl = 108.752969999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20673903-1.20672196) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dr = 108.752969999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26964506--0.26959712) × cos(1.20673903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356068534535225 × 6371000     		do = 108.752495651065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26964506--0.26959712) × cos(1.20672196) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356084485712872 × 6371000     		du = 108.757367551302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20673903)-sin(1.20672196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356068534535225-0.356084485712872)×R²
    abs(-0.26959712--0.26964506)×1.59511776475774e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59511776475774e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59511776475774e-05×40589641000000     		ar = 11827.4218140121m²