Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59910 / 55818
↖ ↑ ↗
← N 25.775161°
W 15.452271°		 ← 275.04 m → N 25.775161°
W 15.449524°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
N 25.772687°
W 15.452271°		 ← 275.04 m →
75 646 m²		 N 25.772687°
W 15.449524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457080841064453 y=0.425861358642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457080841064453 × 217)
    floor (0.457080841064453 × 131072)
    floor (59910.5)     		tx = 59910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425861358642578 × 217)
    floor (0.425861358642578 × 131072)
    floor (55818.5)     		ty = 55818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59910 / 55818 ti = "17/59910/55818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59910/55818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59910 ÷ 217
    59910 ÷ 131072     		x = 0.457077026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55818 ÷ 217
    55818 ÷ 131072     		y = 0.425857543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457077026367188 × 2 - 1) × π
    -0.085845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26969300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425857543945312 × 2 - 1) × π
    0.148284912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.465850790507706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26969300} λ = -0.26969300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465850790507706))-π/2
    2×atan(1.59336923579593)-π/2
    2×1.01032887212645-π/2
    2.0206577442529-1.57079632675     		φ = 0.44986142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26969300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.452271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44986142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.775161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59910 KachelY 55818 -0.26969300 0.44986142 -15.452271 25.775161
    Oben rechts KachelX + 1 59911 KachelY 55818 -0.26964506 0.44986142 -15.449524 25.775161
    Unten links KachelX 59910 KachelY + 1 55819 -0.26969300 0.44981825 -15.452271 25.772687
    Unten rechts KachelX + 1 59911 KachelY + 1 55819 -0.26964506 0.44981825 -15.449524 25.772687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44986142-0.44981825) × R
    4.31700000000368e-05 × 6371000     		dl = 275.036070000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44986142-0.44981825) × R
    4.31700000000368e-05 × 6371000     		dr = 275.036070000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26969300--0.26964506) × cos(0.44986142) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900507371229921 × 6371000     		do = 275.038130233491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26969300--0.26964506) × cos(0.44981825) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900526142465804 × 6371000     		du = 275.043863452102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44986142)-sin(0.44981825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900507371229921-0.900526142465804)×R²
    abs(-0.26964506--0.26969300)×1.87712358832304e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87712358832304e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87712358832304e-05×40589641000000     		ar = 75646.19487233m²