Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59910 / 30232
↖ ↑ ↗
← N 69.139097°
W 15.452271°		 ← 108.76 m → N 69.139097°
W 15.449524°		 →
↑
108.75 m
↓
↑
108.75 m
↓
N 69.138119°
W 15.452271°		 ← 108.77 m →
11 828 m²		 N 69.138119°
W 15.449524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457080841064453 y=0.230655670166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457080841064453 × 217)
    floor (0.457080841064453 × 131072)
    floor (59910.5)     		tx = 59910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230655670166016 × 217)
    floor (0.230655670166016 × 131072)
    floor (30232.5)     		ty = 30232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59910 / 30232 ti = "17/59910/30232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59910/30232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59910 ÷ 217
    59910 ÷ 131072     		x = 0.457077026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30232 ÷ 217
    30232 ÷ 131072     		y = 0.23065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457077026367188 × 2 - 1) × π
    -0.085845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26969300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23065185546875 × 2 - 1) × π
    0.5386962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69236430418646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26969300} λ = -0.26969300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69236430418646))-π/2
    2×atan(5.43230916526595)-π/2
    2×1.38875060655204-π/2
    2.77750121310408-1.57079632675     		φ = 1.20670489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26969300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.452271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20670489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.139097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59910 KachelY 30232 -0.26969300 1.20670489 -15.452271 69.139097
    Oben rechts KachelX + 1 59911 KachelY 30232 -0.26964506 1.20670489 -15.449524 69.139097
    Unten links KachelX 59910 KachelY + 1 30233 -0.26969300 1.20668782 -15.452271 69.138119
    Unten rechts KachelX + 1 59911 KachelY + 1 30233 -0.26964506 1.20668782 -15.449524 69.138119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20670489-1.20668782) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dl = 108.752969999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20670489-1.20668782) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dr = 108.752969999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26969300--0.26964506) × cos(1.20670489) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.356100436786763 × 6371000     		do = 108.762239419975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26969300--0.26964506) × cos(1.20668782) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.35611638775689 × 6371000     		du = 108.76711125683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20670489)-sin(1.20668782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356100436786763-0.35611638775689)×R²
    abs(-0.26964506--0.26969300)×1.59509701276317e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59509701276317e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59509701276317e-05×40589641000000     		ar = 11828.4814744904m²