Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5991 / 6906
↖ ↑ ↗
← N 27.176469°
W 48.361816°		 ← 2 173.55 m → N 27.176469°
W 48.339844°		 →
↑
2 173.72 m
↓
↑
2 173.72 m
↓
N 27.156921°
W 48.361816°		 ← 2 173.93 m →
4 725 107 m²		 N 27.156921°
W 48.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365692138671875 y=0.421539306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365692138671875 × 214)
    floor (0.365692138671875 × 16384)
    floor (5991.5)     		tx = 5991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421539306640625 × 214)
    floor (0.421539306640625 × 16384)
    floor (6906.5)     		ty = 6906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5991 / 6906 ti = "14/5991/6906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5991/6906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5991 ÷ 214
    5991 ÷ 16384     		x = 0.36566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6906 ÷ 214
    6906 ÷ 16384     		y = 0.4215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36566162109375 × 2 - 1) × π
    -0.2686767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84407293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4215087890625 × 2 - 1) × π
    0.156982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.493174823291138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84407293} λ = -0.84407293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493174823291138))-π/2
    2×atan(1.63750677068983)-π/2
    2×1.0225575961003-π/2
    2.0451151922006-1.57079632675     		φ = 0.47431887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84407293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.361816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47431887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.176469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5991 KachelY 6906 -0.84407293 0.47431887 -48.361816 27.176469
    Oben rechts KachelX + 1 5992 KachelY 6906 -0.84368943 0.47431887 -48.339844 27.176469
    Unten links KachelX 5991 KachelY + 1 6907 -0.84407293 0.47397768 -48.361816 27.156921
    Unten rechts KachelX + 1 5992 KachelY + 1 6907 -0.84368943 0.47397768 -48.339844 27.156921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47431887-0.47397768) × R
    0.000341189999999991 × 6371000     		dl = 2173.72148999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47431887-0.47397768) × R
    0.000341189999999991 × 6371000     		dr = 2173.72148999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84407293--0.84368943) × cos(0.47431887) × R
    0.000383500000000092 × 0.889604022247239 × 6371000     		do = 2173.55038107072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84407293--0.84368943) × cos(0.47397768) × R
    0.000383500000000092 × 0.889759803066198 × 6371000     		du = 2173.9309969964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47431887)-sin(0.47397768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889604022247239-0.889759803066198)×R²
    abs(-0.84368943--0.84407293)×0.000155780818958617×R²
    0.000383500000000092×0.000155780818958617×6371000²
    0.000383500000000092×0.000155780818958617×40589641000000     		ar = 4725106.89527788m²