Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59908 / 30233
↖ ↑ ↗
← N 69.138119°
W 15.457764°		 ← 108.77 m → N 69.138119°
W 15.455017°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
N 69.137141°
W 15.457764°		 ← 108.77 m →
11 836 m²		 N 69.137141°
W 15.455017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457065582275391 y=0.230663299560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457065582275391 × 217)
    floor (0.457065582275391 × 131072)
    floor (59908.5)     		tx = 59908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230663299560547 × 217)
    floor (0.230663299560547 × 131072)
    floor (30233.5)     		ty = 30233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59908 / 30233 ti = "17/59908/30233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59908/30233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59908 ÷ 217
    59908 ÷ 131072     		x = 0.457061767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30233 ÷ 217
    30233 ÷ 131072     		y = 0.230659484863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457061767578125 × 2 - 1) × π
    -0.08587646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26978887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230659484863281 × 2 - 1) × π
    0.538681030273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.69231636728684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26978887} λ = -0.26978887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69231636728684))-π/2
    2×atan(5.43204876344827)-π/2
    2×1.38874207118535-π/2
    2.77748414237069-1.57079632675     		φ = 1.20668782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26978887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.457764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20668782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.138119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59908 KachelY 30233 -0.26978887 1.20668782 -15.457764 69.138119
    Oben rechts KachelX + 1 59909 KachelY 30233 -0.26974093 1.20668782 -15.455017 69.138119
    Unten links KachelX 59908 KachelY + 1 30234 -0.26978887 1.20667074 -15.457764 69.137141
    Unten rechts KachelX + 1 59909 KachelY + 1 30234 -0.26974093 1.20667074 -15.455017 69.137141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20668782-1.20667074) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dl = 108.81667999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20668782-1.20667074) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dr = 108.81667999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26978887--0.26974093) × cos(1.20668782) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.35611638775689 × 6371000     		do = 108.76711125683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26978887--0.26974093) × cos(1.20667074) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.356132347967606 × 6371000     		du = 108.771985915998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20668782)-sin(1.20667074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35611638775689-0.356132347967606)×R²
    abs(-0.26974093--0.26978887)×1.59602107159262e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59602107159262e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59602107159262e-05×40589641000000     		ar = 11835.9411625031m²